flowchart TB
P1["第I部：磁石を計算する前に、何を問うか<br>（磁石らしさとは何か／hcp を数件のデータで／nspin は何を増やすか）"]
P2["第II部：金属磁性の計算を組み立てる<br>（入力＝物理の供述書／波の解像度／金属の k 点／degauss という道具）"]
P3["第III部：磁性の数字を疑い、検算する<br>（初期磁化は答えではない／FM と NM を同じ物差しで／DOS で金属性を検算）"]
P4["第IV部：構造を動かし、言える境界を決める<br>（a と c/a を粗く動かす／どこまで磁石らしいと言えるか）"]
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計算機の中のコバルト
第一原理計算は、どこまで磁石らしいと言えるか
計算機の中に置いたコバルトは、本物の磁石とどこまで同じなのか。
その「どこまで」を、自分の手で確かめ、言葉に線を引けるだろうか。
数行のテキストファイルを書き、Enter を押す。しばらくすると、画面には大きな負の数がひとつと、もうひとつ、小さな正の数が現れる。前者は全エネルギー、後者は磁気モーメントである。たったいま、計算機の中にコバルトの結晶が「置かれ」、そのエネルギーと「磁石らしさ」の目安が返ってきたのだ。私たちは原子をひとつも触っていない。炉も、磁場も、磁化測定器も使っていない。それでも計算機は、コバルトが磁石になることを、平気な顔で出してくる。
では、その小さな正の数は、本物のコバルト磁石の何を写しているのだろうか。これが本書を最後まで貫く問いである。
1 第一原理計算とは、何を返す装置か
「第一原理計算」という言葉は、経験的に合わせ込んだパラメータに頼らず、原子核と電子という登場人物と、量子力学の基本法則だけから出発する、という意味である。入力として人間が与えるのは、煎じ詰めれば一点だけ――どの種類の原子が、どこにあるか。それだけを受け取って、計算機は「その配置のとき、各原子にどんな力がはたらき、系全体のエネルギーがいくらになるか」を返す。コバルトのように磁性をもつ金属では、ここに「電子のスピンがどちらをどれだけ向いているか」――スピン磁気モーメント――が加わる。
本書は、第一原理計算をこの一言でとらえる。
第一原理計算とは、原子の配置を入れると、その配置での力と全エネルギー（そして電子の状態とスピンの偏り）を返す変換器である。本書の読者の仕事は、この変換器を操作することではなく、変換器が返した数字を疑い、検算し、それが本物の磁石の何にあたるかを見極めることである。
コバルトについて私たちが知りたいことは、たとえば次のようなものだ。原子はどんな形に並ぶのか（hcp という六方の最密構造、そして格子定数 \(a\) と軸比 \(c/a\)）。その金属は本当に磁石になりたがるのか（強磁性状態と非磁性状態のエネルギー比較）。なるとして、その磁石らしさはどれくらいなのか（スピン磁気モーメント \(M\)）。本書は、これらを計算機に出させ、一つずつ本物のコバルトと突き合わせていく。
2 最初の山場を、先に予告しておく
突き合わせの中で、ひとつだけ先に予告したい数字がある。スピン磁気モーメント \(M\)――結晶の中で電子のスピンがそろって生む、原子あたりの磁気の大きさである。本書で扱う計算にコバルトを入れると、\(M \approx 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) という値が返ってくる。しかも、強磁性の状態は非磁性の状態より原子あたり約 0.24 eV も低い。コバルトは、計算機の中でもちゃんと磁石になりたがるのである。
ここで、こう言いたくなる。「\(1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) が出た。だからコバルトの磁石としての性質は、計算で再現できた」と。
本書はこの一点に向かって進み、第12章で正面から決着をつける。先に結論の形だけ言っておけば、答えは「その値は確かに本物だ。けれど、それをそのまま『コバルト磁石の強さ』だと読んではいけない」という、少し込み入ったものになる。計算が返したのは、絶対零度・スピン軌道相互作用なし・周期的な結晶の中での、スピンの偏りである。私たちが日常で磁石と呼ぶものを決める飽和磁化、温度を上げると磁石でなくなるキュリー点、磁石に向きやすい方向がある異方性――これらは、同じ \(\mu_\text{B}\) という顔をしていても、別の量であり、別の道具で測る。なぜそう言えるのかを、あなた自身が説明できるようになること――それが本書のひとつの到達点である。
3 この本がたどる道
本書は、計算機を動かす前に物理を手の内に入れ、それから計算に当て、出力を疑い、最後に「どこまで磁石らしいと言えるか」に線を引く、という順で進む。
第I部では、まだ計算機を本格的に開かない。コバルトについて知りたいことを言葉にし、hcp の結晶を数件のデータで表す方法を手に入れ、nspin という設定が計算に何を付け加えるのかを見る。第II部で入力ファイルを物理の供述書として一行ずつ読み、波の解像度（ecutwfc）と周期の標本化（k点）を決める。ここでコバルトならではの事情――金属はフェルミ面のために k 点を密に要し、degauss という便利な道具が物理量を動かしうる――が立ち上がる。第III部で、磁性の数字そのものを検算する。初期磁化は答えではないこと、強磁性と非磁性は同じ土俵でだけ比べられること、状態密度（DOS）が「金属である」ことの証拠になることを確かめる。第IV部で、構造を粗く動かして格子の谷を探り、最後に同じ計算から引ける強さの違う主張を階段に並べ、「どこまで磁石らしいと言えるか」に線を引く。
4 本書が育てたいもの
本書は、Quantum ESPRESSO (Giannozzi ほか 2009, 2017) というソフトウェアをひとつの道具として使う。だが、本書が育てたいのはボタンの押し方ではない。インストール手順や並列計算の設定は、本書の主役ではない。主役は、出てきた数字を前にして「これは何の値で、どこまで信じてよいか」を自分で判断できる目である。その目は、コバルトを離れても、別の物質の計算でも、人の論文を読むときでも、同じようにはたらく。
読み終えたとき、あなたは「計算が返したスピンの偏り」と「実験で測る磁石の強さ」のあいだに、自分の手で線を引けるようになっている。その線こそ、本書が最初から最後まで一緒にたどっていく道である。
それでは、計算機を開く前に、まず「コバルトが磁石らしいとはどういうことか」を言葉にするところから始めよう。