4 nspin は何を増やすのか

同じ結晶、同じ原子配置。
ただ一つのフラグを 1 から 2 へ変えるだけで、計算機は「磁石になりうるか」を問いはじめる。

この章のゴール：非磁性計算（nspin=1）と強磁性計算（nspin=2）の違いを、入力で何が増え、出力で何が増えるかの両面で読めるようになる。スピン分極という自由度が計算に何を加え、その結果として磁気モーメント \(M\) という新しい数がどこから現れるのかを理解する。

前章で、コバルトの結晶を二つの数で計算機に手渡した。だがその箱の中の電子には、まだ「向き」がない。コバルトを磁石たらしめるのは、電子のスピンという自由度である。この章では、その自由度を計算に与えるフラグ nspin が、入力で何を要求し、出力で何を返すのかに決着をつける。結論から言う。nspin を 1 から 2 へ上げると、計算は上向きと下向きの電子を別々に扱えるようになり、その結果として磁気モーメント \(M\) という数が新しく出力に現れ、全エネルギーがわずかに下がる。この対応を読めるようにするのが本章である。

1 スピンという自由度

電子はスピンという内部の自由度をもち、おおまかに「上向き」と「下向き」の二状態をとる。磁性とは、煎じ詰めれば、この上向きと下向きの数の偏りである。上下が同数なら偏りはなく、磁石にはならない。上が下より多ければ、その差ぶんだけ結晶が磁気モーメントをもつ。

計算機がこの偏りを表せるかどうかは、電子密度をいくつ持つかで決まる。電子密度とは「どこにどれだけ電子がいるか」を表す地図のことで、nspin はその地図を何枚持つかを切り替える。

nspin=1（非磁性、NM）では、上下を区別せず、電子密度の地図を一枚だけ持つ。上向きも下向きも同じ地図を共有するので、偏りようがない。磁化は定義からして 0 になる。
nspin=2（共線スピン分極、FM）では、上向き用と下向き用の地図を二枚別々に持つ。二枚が違う形に落ち着けば、その差がスピン磁気モーメントとして表に出る。

flowchart TB
    subgraph S1["nspin=1（NM）"]
        D1["電子密度（一枚）<br>上下を区別しない"]
        D1 --> M0["M = 0（偏れない）"]
    end
    subgraph S2["nspin=2（FM）"]
        DU["上向き密度"]
        DD["下向き密度"]
        DU --> DIFF["差 = スピン磁気モーメント M"]
        DD --> DIFF
    end

図 1: nspin が切り替えるのは電子密度の枚数。nspin=1 は上下共通の一枚で偏れない。nspin=2 は上・下の二枚を持ち、その差が磁気モーメント M になる。

地図を二枚持てば、計算量はおよそ倍に近づく。それでも nspin=2 を選ぶのは、一枚では決して表せない「磁石になりうるか」という問いを、計算が答えられるようになるからである。コバルトのように磁性をもつ金属では、この一枚から二枚への切り替えが本質的に効く。

2 `nspin` と `starting_magnetization`（入力側）

二枚の地図を許すだけでは、計算は始まらない。最初にどちらへ、どれくらい傾けて探索を始めるかも、入力で指定してやる必要がある。完全に上下対称な状態から出発すると、計算は対称なまま動かず、偏りが芽生えないことがあるからである。わずかに上向きへ傾けた初期状態を与えて、そこから自己無撞着場（SCF）の反復に偏りを育てさせる。

入力で増える行は、二つに集約される。

nspin=2 ――上下別々の密度を許す宣言。
starting_magnetization(1)=0.7 ――一番目の原子種に与える初期の傾き。smoke 束ではこの値を \(0.7\) にとっている。

ここで強く言っておきたいのは、starting_magnetization は探索の出発点であって、答えではないことである。\(0.7\) という数は「上向きへこれくらい傾けて探索を始めよ」という初期条件にすぎず、計算が最後に返す磁化とは別物である。出発点をどこに置いても、行き着く先がほぼ同じになる――この性質は第8章で正面から確かめる。いまは「初期値であって答えではない」とだけ札を立てておく。

一方、nspin=1（NM）の入力には starting_magnetization の行は要らない。地図が一枚で偏りようがない以上、傾ける先もないからである。だから NM と FM の入力の差は、この二行――nspin の値と、starting_magnetization の有無――にきれいに集約される。残りの結晶構造・カットオフ・k 点などは、すべて同じにそろえる。同じ土俵で引き算をするための約束である。

flowchart LR
    IN2["入力（FM）<br>nspin=2<br>starting_magnetization(1)=0.7"] --> OUT2["出力<br>total magnetization = 3.32 μB/cell<br>→ M = 1.66 μB/atom"]
    IN1["入力（NM）<br>nspin=1<br>（magnetization 行なし）"] --> OUT1["出力<br>magnetization の行なし<br>→ M = 0"]

図 2: 入力の磁性宣言と出力の対応。nspin=2 と starting_magnetization を入れると、出力に total magnetization の行が現れ、そこから M が読める。nspin=1 にはこの行がない。

3 total magnetization と全エネルギー（出力側）

入力を変えた効果は、出力の二か所に現れる。一つは新しく姿を見せる磁化、もう一つは全エネルギーの下がり方である。smoke 束（同条件でそろえた NM と FM の SCF 比較）の確定値を並べる。計算条件は hcp Co の 2 原子セル、ecutwfc=80 Ry、k 点 \(12\times12\times8\)、degauss=0.02 Ry である。

量	`nspin=1`（NM）	`nspin=2`（FM）
\(E_\text{tot}\) (Ry/cell)	\(-753.412\)	\(-753.447\)
\(M\) (\(\mu_\text{B}/\text{atom}\))	（定義上 0）	\(1.66\)
SCF 反復	16	29

まず磁化である。nspin=2 の出力には、total magnetization という行が新しく現れ、\(3.32\ \mu_\text{B}/\text{cell}\) という値が立つ。これは単位胞ぜんたいの磁化で、2 原子で割れば原子あたり \(M = 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) になる。nspin=1 の出力には、この行がそもそも存在しない。地図が一枚で偏れない以上、報告すべき磁化がないからである。\(M\) という数は、二枚の地図を許してはじめて出力に生まれる量だと言える。

次に全エネルギーである。同じ条件で比べると、FM の全エネルギー \(-753.447\) Ry/cell は、NM の \(-753.412\) Ry/cell より低い。差は約 \(0.035\) Ry/cell で、原子あたりに直すと

\[ \Delta E_{\text{FM-NM}} \approx -0.24\ \text{eV/atom} \]

となる。負号は「FM の側がエネルギー的に好まれる」ことを意味する。スピンをそろえて偏らせたほうが、エネルギーが下がる――これが、コバルトが計算機の中でも磁石になりたがる、という最初の手応えである。ただし、この引き算を丁寧に詰め、k 点や degauss を変えても符号が揺るがないかを確かめる作業は第9章にあずける。ここでは「同じ土俵で引くと FM が約 \(0.24\) eV/atom 低い」という事実を握っておけば十分である。

出力に現れた \(M = 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) について、一つだけ釘を刺しておく。これは計算が直接返すスピンの偏りであって、実験で測る磁石の強さ――飽和磁化――とそのまま同じ顔ではない。両者を突き合わせるには、質量密度やモル質量を通じた単位の翻訳が一手要る。この翻訳を省いて \(\mu_\text{B}/\text{atom}\) をそのまま磁石の強さと読むと、後で足をすくわれる。いまは混同しないことだけ押さえ、突き合わせの作法は第12章に持ち越す。

smoke 束の NM 計算と FM 計算について、

入力で異なる行はどれとどれか。nspin のほかにもう一つ挙げよ。
出力に現れる磁化 \(M = 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) と、全エネルギー \(-753.447\) Ry/cell・\(-753.412\) Ry/cell は、それぞれ nspin=1 と nspin=2 のどちらから出た値か整理せよ。
1. で FM が NM より低いことから、何が言えて、何はまだ言えないかを一言ずつ述べよ。

異なるのは nspin（\(1\) か \(2\) か）と、nspin=2 のときだけ要る starting_magnetization(1)=0.7 の二点。結晶構造・カットオフ・k 点などは同一にそろえてある。同じ土俵で引き算をするためである。
\(M = 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) は nspin=2（FM）から出る。出力の total magnetization（\(3.32\ \mu_\text{B}/\text{cell}\)）を 2 原子で割った値である。nspin=1（NM）はスピンを区別しないので、この行そのものがなく \(M = 0\)。全エネルギーは \(-753.447\) Ry/cell が FM、\(-753.412\) Ry/cell が NM。FM が約 \(0.035\) Ry/cell（\(\approx 0.24\) eV/atom）低い。
言えること：同じ条件のもとで、強磁性の解が非磁性の解よりエネルギー的に好まれる。まだ言えないこと：この差が k 点や degauss の取り方に対して頑健かどうか（第9章）、そして \(M\) が実験の飽和磁化や室温での磁石らしさと結びつくかどうか（第12章）。「FM 解を好む」と「磁石としての性質を再現できた」は、まだ別の主張である。

「starting_magnetization(1)=0.7 と入れたのに、出力の \(M\) が \(1.66\) になっている。入力した \(0.7\) はどこへ消えたのか」と戸惑うことがある。これは消えたのではなく、役割が違う。starting_magnetization は探索の出発点を与える初期条件で、SCF の反復が回るうちに、エネルギーが下がる方向へ磁化が育っていく。行き着いた先の磁化が \(M = 1.66\) である。出発点の数と到達点の数が一致しないのは当然で、むしろ出発点を変えても到達点がほぼ同じになることこそ、解が初期値に依らない証拠になる。その確認は第8章で行う。

4 この章のまとめ

nspin は、電子密度の地図を何枚持つかを切り替えるフラグである。nspin=1（NM）は上下共通の一枚で偏れず \(M=0\)、nspin=2（FM）は上・下別々の二枚を持ち、その差がスピン磁気モーメント \(M\) になる。
入力側で増える行は nspin と starting_magnetization の二点に集約される。starting_magnetization は探索の出発点であって答えではない（第8章で回収）。
出力側では、nspin=2 にだけ total magnetization の行が現れ、\(M = 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) が読める。全エネルギーは FM が NM より約 \(0.24\) eV/atom 低く、コバルトが磁石になりたがる最初の手応えになる。引き算の頑健さの検討は第9章へあずける。
出てきた \(M = 1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) は、計算が返すスピンの偏りであって、実験の飽和磁化と直結はしない。突き合わせには単位の翻訳が要る。この区別が本書の背骨で、終章まで持ち越す。
次章では、この FM 計算の入力ファイルを一行ずつ「物理の供述書」として読み解いていく。

1 スピンという自由度

2 nspin と starting_magnetization（入力側）

3 total magnetization と全エネルギー（出力側）

4 この章のまとめ

2 `nspin` と `starting_magnetization`（入力側）