13 どこまで磁石らしいと言えるか

\(M\approx1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) は本物だ。けれど、それは「コバルト磁石の強さ」そのものなのか。
同じ計算から、強さの違う主張をいくつ引けるか。そして、どこから先が言い過ぎなのか。

この章のゴール：本書が積み上げた数字を棚卸しし、\(M\) が確かな値でありながら飽和磁化・\(T_\text{c}\)・磁気異方性とは別の量であることを、自分の言葉で説明できるようになる。さらに、同じ計算から強さの違う主張をいくつも引き、どこまでが言えてどこからが言い過ぎかに線を引く。本書全体の回収であり、はじめにの問いへの答えである。

第11章までで、計算機の中のコバルトについて知りたかった四つ――形・磁石になりたがるか・磁石らしさ・金属か――に、一つずつ数字で答えてきた。残るは、その数字をどう読むかである。先に結論の形だけ言っておく。本書が出した \(M\approx1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) は、疑いようのない確かな計算結果だ。けれど、それをそのまま「コバルト磁石の強さ」と読むと、計算が触れていない物理をまるごと飛び越えてしまう。本章は、その一歩手前で立ち止まる。まず数字を棚卸しし、次にその意味を翻訳し、最後に同じ計算から引ける主張を強い順に並べて、言える境界に線を引く。

1 ここまでの数字を棚卸しする

積み上げてきた数字を、一覧にして手元に置く。下の表は、すべて著者が実際に走らせた計算に照合した確定値である。

量	値	どこで出したか	何の証拠か	第1章の仕分け
\(\Delta E_{\text{FM-NM}}\)	\(\approx -0.25\) eV/atom	第3章・第9章	FM が NM より安定（磁石になりたがる）	一手の翻訳（差と単位換算）
\(M\)	\(1.60\)–\(1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\)	第3章・第8章・第9章	スピンの偏りの大きさ（初期値非依存）	直接の出力
\(E_\text{F}\) 直下の DOS	\(\approx 1.8\) states/eV（有限）	第10章	フェルミ準位に状態がある＝金属	一手の翻訳（NSCF と後処理）
格子の谷 \(a\)	\(\approx 2.49\) Å	第11章	粗い5点スキャンの二次フィット最小	解釈が要る（谷の読み取り）
格子の谷 \(c/a\)	\(\approx 1.60\)	第11章	同上	解釈が要る（谷の読み取り）

表の右端には、第1章で立てた仕分け――直接の出力か、一手の翻訳を挟むか、解釈が要るか――を書き添えた。第1章で白地図として渡した分類が、本書の旅を経て、実際の数字で埋まって戻ってきたことになる。

四つの問いに、四つの答えが並んだ。コバルトは強磁性の解を好み（\(\Delta E\) が負）、その磁石らしさはおよそ \(1.6\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) で、フェルミ準位に状態が詰まった金属であり、格子の谷は実験値（\(a=2.507\) Å, \(c/a=1.6228\)）のすぐ近くに来る。しかも \(M\) は初期磁化を 0.1 から 1.0 まで振っても同じ終状態に落ち着き（第8章）、k 点や degauss をていねいに選べば安定して再現された（第6章・第7章）。これだけそろえば、「計算機の中にコバルト磁石をつくれた」という手応えを、一度しっかり受け止めてよい。コバルトは、計算機の中でもちゃんと磁石になりたがるのである。

\(M\) の確かさには、もう一つ補強がある。本書の主役は PAW の擬ポテンシャルだが、まったく作りの違う USPP の擬ポテンシャルで同じ計算を走らせても、\(M\) は \(1.65\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) 前後（PAW \(1.655\)、USPP \(1.645\)）でほぼ一致した（第8章）。擬ポテンシャルは原子核近くの扱いを近似する道具で、その作り方を取り替えても磁気モーメントの値が動かない――これは、\(M\) が特定の擬ポテンシャルの癖ではなく、コバルトという物質の素性を捉えていることの傍証である。なお、二つの計算の全エネルギーの絶対値はまるで違う（PAW と USPP では基準点が異なる）から、そちらは比べてはいけない。比べてよいのは、同じ作りの中での差や、作りをまたいでも残る傾向だけである。

その手応えを胸に、こう言いたくなる。「\(M=1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) が出た。だからコバルトの磁石としての性質を、計算で再現できた」と。ここが、本書が最初から目指してきた一点である。

2 \(M\) は本物だ。けれど磁石の強さそのものではない

ここが本書の山場である。\(M\approx1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) は確かに本物の計算結果だが、それは特定の枠の中での値だ。本書の計算が返したのは、絶対零度・スピン軌道相互作用なし（スカラー相対論の擬ポテンシャル）・周期的な結晶の中での、共線スピンの偏りである。三つの条件が同時にかかっている。温度はゼロ、スピンと軌道の結びつきはオフ、結晶は無限に整然と続く。\(M\) は、この枠の中で「電子のスピンがどれだけそろっているか」を測った量である。

三つの条件が、それぞれ別のことを締め出している。絶対零度は、温度でスピンのそろいが揺らぐ効果を締め出す。だから温めると磁石でなくなる境目――キュリー点 \(T_\text{c}\approx1388\ \text{K}\)――は、この計算には載っていない。スピン軌道相互作用なしは、スピンの向きと結晶の方向を結ぶ糸を締め出す。だから磁石に向きやすい方向がある磁気異方性も、その糸から生まれる軌道磁気モーメントも、出てこない。周期的な結晶は、表面・界面・欠陥・有限の大きさを締め出す。だから本書が見ているのは、無限に整然と続く理想結晶の内部だけである。

私たちが日常で磁石の強さと呼ぶものは、これらの締め出された物理を含めて決まる。手に持った磁石がどれだけ鉄を引きつけるかは飽和磁化が決め、温めると磁石でなくなる境目は \(T_\text{c}\) が決め、磁石に向きやすい方向があることは磁気異方性が決める。これらは同じ \(\mu_\text{B}\) という顔をしていても、\(M\) とは別の量であり、別の道具で測る。飽和磁化は単位質量あるいは単位体積あたりの磁化で、\(M\) とは単位からして違う。\(T_\text{c}\) は有限温度でスピンのそろいが崩れる温度で、絶対零度の計算には載っていない。異方性と軌道磁気モーメントは、スピンと軌道を結ぶ相互作用から生まれるが、本書の擬ポテンシャルはその相互作用を初めから含んでいない。

つまり、計算が答えたのは「結晶の中でスピンがどれだけそろっているか」であって、「この材料は室温でどれだけ強い磁石か」ではない。両者は関係はあるが、同じではない。一つの数字 \(M\) から日常の磁石の強さへ渡るには、もう一手が要る。その一手を、次に具体的に見る。

3 単位を翻訳する一手

まず、\(M\) と実験の飽和磁化を、同じ土俵に乗せることから始める。計算が返す \(M\) は「原子あたり何 \(\mu_\text{B}\)」という量である。一方、実験室で測る飽和磁化は、試料の単位質量あたり（emu/g）や単位体積あたり（A/m、磁束密度に直せば T）で表される。\(1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) と「\(161\) emu/g」を直接見比べても、単位が違うから比べようがない。両者を結ぶには、コバルトという物質の素性――質量密度 \(\rho\)、モル質量、原子数密度――を通じて単位を翻訳する一手が要る。

翻訳の筋道はこうだ。まずモル質量（コバルトは約 \(58.93\) g/mol）と質量密度（約 \(8.90\) g/cm³）から、単位体積に原子が何個詰まっているか、すなわち原子数密度 \(n\) を出す。アボガドロ数 \(N_\text{A}\) を使えば \[ n = \frac{\rho\, N_\text{A}}{M_\text{mol}} \approx \frac{8.90 \times 6.02\times10^{23}}{58.93} \approx 9.1\times10^{22}\ \text{個/cm}^3. \] 原子の数が分かれば、原子あたりのモーメント \(M\)（\(\mu_\text{B}\) 単位）に \(n\) を掛けて、単位体積あたりの磁化＝飽和磁化に直せる。逆に、質量あたりに直せば emu/g になる。この一手を踏んではじめて、計算の \(M\) と実験の飽和磁化が同じ土俵に並ぶ。

この翻訳を飛ばして「\(1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) だから飽和磁化を再現した」と書くこと――それが、本書が第1章から避けてきた混同である。単位の違う二つの数字を、\(\mu_\text{B}\) という共通の顔だけを頼りに並べてしまう。翻訳を挟めば、計算値 \(M\approx1.6\) と実験値 \(\approx1.7\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) が、はじめて意味のある形で並ぶ。実際の数値の換算は、章末の小課題で手を動かして確かめる。

4 同じ計算から、強さの違う主張を引く

ここが本書の背骨の収束点である。いま手元にあるのは、たった一束の計算結果だ。ところが同じ一つの計算から、確かさの違う主張をいくつも引ける。強い順に五つ並べてみる。

観察：この入力でコバルトの強磁性解が収束し、\(M\approx1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) を返した。

比較：同じ条件で、強磁性は非磁性より原子あたり約 \(0.25\) eV 低かった。

限定付きの主張：PBE・PAW・SOCなし・絶対零度という枠の中で、hcp コバルトは強磁性の解を好む。

翻訳の注意：この \(M\) は実験の飽和磁化と同じ量ではない。突き合わせるには単位の翻訳が要る。

言い過ぎ：この計算で \(T_\text{c}\) も磁気異方性も軌道磁気モーメントも再現した。

上から下へ、計算が直接支える度合いが弱まっていく。観察は、計算機が画面にそのまま出した数字で、いちばん確かだ。比較は、二つの計算の差をとっただけで、まだ計算の言葉の内側にある。限定付きの主張は、条件を全部明記したうえでなら言える。翻訳の注意は、もう計算の外へ一歩出ていて、別の物質定数を借りないと前へ進めない。そして最下段の言い過ぎは、計算がそもそも触れていない量を「再現した」と言ってしまう誤りである。\(T_\text{c}\) も異方性も軌道項も、本書の計算には初めから載っていない。

flowchart TB
    S1["観察：FM が収束し M≈1.66 μ_B/atom が出た<br>（計算がそのまま返した）"]
    S2["比較：同条件で FM は NM より約 0.25 eV/atom 低い<br>（差をとった）"]
    S3["限定付きの主張：PBE・PAW・SOCなし・T=0 で<br>コバルトは強磁性解を好む（条件を明記）"]
    S4["翻訳の注意：M は飽和磁化とは別量。<br>突き合わせには単位翻訳が要る（計算の外へ一歩）"]
    S5["言い過ぎ：T_c・磁気異方性・軌道磁気モーメントまで<br>再現した（×＝計算が触れていない）"]
    S1 --> S2 --> S3 --> S4 --> S5
    classDef ng fill:#f8d7da,stroke:#dc3545;
    class S5 ng;

図 1: 同じ計算から引ける主張を、確かさの順（強い→弱い）に並べる。下に行くほど計算が直接は支えなくなり、最下段は計算が触れていない量を主張する言い過ぎ（×）である。

この五段の並びは、信頼度の情報設計そのものである。論文を書くときも、人の主張を読むときも、「いまこの人はどの段の主張をしているのか」を見分けられれば、過大な読みも過小な読みもしなくて済む。本書が育てたかったのは、まさにこの目である。

5 次の計算は、問いが決める

言えなかった量のそれぞれに、対応する次の道具がある。それを地図として置いておく。

格子定数を確定したいのなら、第11章の粗い5点スキャンでは足りない。より密な k 点のもとで relax あるいは vc-relax を走らせ、力と応力がゼロになる構造を計算機自身に探させる。これで \(a\)・\(c/a\) は「谷のあたり」から「確定値」へと格が上がる。軌道磁気モーメントや磁気異方性を出したいのなら、スピン軌道相互作用（SOC）を含む擬ポテンシャルと、それを扱う計算が要る。本書のスカラー相対論の枠を一段広げる手当てである。\(T_\text{c}\) や帯磁率 \(\chi(T)\) を語りたいのなら、磁気励起や有限温度を扱うまったく別の枠組み（スピン揺らぎの理論や、磁気相互作用を取り出してからの統計力学）へ進む。

問いと道具の対応を、一枚にまとめておく。表の左から右へ読むと、「何を言えなかったか」が「次に何を回すか」へまっすぐつながる。

言えなかった量	それを決める問い	次の道具
確定した格子 \(a\), \(c/a\)	力と応力がゼロになる構造はどこか	より密な k 点＋`relax` / `vc-relax`
軌道磁気モーメント・磁気異方性	スピンの向きと結晶方向の結びつきは	SOC を含む擬ポテンシャルと計算
キュリー点 \(T_\text{c}\)・帯磁率 \(\chi(T)\)	温度でスピンのそろいはどう崩れるか	磁気励起・有限温度の枠組み

それぞれの行で、問いが先にあり、道具はそれに合わせて選ばれている。表を逆向きに「SOC を回せば全部分かる」と読んではいけない。SOC は二行目の問いには効くが、三行目の有限温度には手が届かないからである。

これらはいずれも本書の外にある。けれど、本書で身につけた「数字を疑い、条件を明記し、言える範囲に線を引く」目は、そのまま次の入口でもはたらく。コバルトを離れても同じだ。たとえば、コバルトを含む酸化物 LaCoO₃ では、スピンの状態そのものが温度で移り変わり、本書で固定して考えた「磁石らしさ」がもっと込み入った姿を見せる。そこへ進むときも、出発点はいつも同じ問いである――この計算は何を返し、それは本物の何にあたるのか。

「もっと高級な計算（SOC やハイブリッド汎関数）に乗り換えれば、飽和磁化も \(T_\text{c}\) も異方性も全部わかる」と考えたくなる。だが道具の格を上げることと、問いに答えることは別である。問いが先にあって、道具はそれに合わせて選ぶ。基底状態の磁気秩序を知りたいのか、格子を確定したいのか、向きやすい方向（異方性）を知りたいのか、有限温度の \(T_\text{c}\) を知りたいのか――問いが道具を決める。SOC は軌道項と異方性に効くが、有限温度の磁石らしさは語らない。\(T_\text{c}\) は有限温度の枠組みでこそ出る量で、汎関数を高級にしても絶対零度の計算からは現れない。問いと道具を取り違えると、どれだけ高級な計算をしても、欲しい答えは返ってこない。

(A) 主張を強い順に並べ替える。 次の5つの文は、コバルトの計算について強さの違う主張を述べている。確かな順（計算が直接支える順）に並べ替えよ。さらに、計算が支えない「言い過ぎ」の文を1つ選び、本書の計算の範囲内で正しい主張に書き換えよ。

コバルトのキュリー点 1388 K を計算で再現した。
PBE・PAW・SOCなし・絶対零度という条件のもとで、コバルトは強磁性の解を好む。
FM の状態は NM の状態より、同条件で原子あたり約 0.25 eV 低い。
計算は \(M\approx1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\) という磁気モーメントを返した。
\(M\) は飽和磁化とは別量であり、突き合わせるには単位の翻訳が要る。

(B) 単位を翻訳する。 計算の \(M\) を実験の飽和磁化と比べたい。コバルトの実験的なスピン磁気モーメントを \(1.7\ \mu_\text{B}/\text{atom}\)、質量密度を \(\rho=8.90\) g/cm³、モル質量を \(58.93\) g/mol、\(\mu_\text{B}=9.27\times10^{-21}\) emu とする。

原子数密度 \(n\)（個/cm³）を求めよ。
質量あたりの飽和磁化を emu/g 単位で求めよ（ヒント：原子1個あたりのモーメントを emu に直し、1 g あたりの原子数を掛ける）。
得た値が、コバルトの飽和磁化としておよそ知られている桁（\(160\) emu/g 程度、体積磁化に直せば \(\mu_0 M_\text{s}\approx1.8\) T 程度）と合うか確かめよ。

(A) 確かな順は (d) → (c) → (b) → (e) → (a)。(d) は計算がそのまま返した観察、(c) は同条件で引いた比較で、ここまでは計算が直接支える。(b) は条件を明記した限定付きの主張。(e) は計算の外への翻訳に対する注意。(a) は本書の計算が触れていない量で、言い過ぎである。書き換えの一例：「コバルトのキュリー点 1388 K を計算で再現した」→「本書の計算は絶対零度のスピンモーメントを返すにとどまる。キュリー点 \(T_\text{c}\approx1388\ \text{K}\) を出すには、有限温度を扱う別の道具が要る」。

(B) (1) 1 g あたりの原子数は \(N_\text{A}/M_\text{mol}=6.02\times10^{23}/58.93\approx1.02\times10^{22}\) 個/g。これに密度を掛けて \[ n=\frac{\rho\,N_\text{A}}{M_\text{mol}}=\frac{8.90\times6.02\times10^{23}}{58.93}\approx9.1\times10^{22}\ \text{個/cm}^3. \] (2) 原子1個あたりのモーメントは \(1.7\times9.27\times10^{-21}\approx1.58\times10^{-20}\) emu。これに 1 g あたりの原子数 \(1.02\times10^{22}\) を掛けて \[ \sigma \approx 1.58\times10^{-20}\times1.02\times10^{22}\approx1.6\times10^{2}\ \text{emu/g}\ (\approx 161\ \text{emu/g}). \] (3) 得た約 \(161\) emu/g は、コバルトの飽和磁化として知られる桁（\(160\) emu/g 程度、体積磁化では \(\mu_0 M_\text{s}\approx1.8\) T 程度）とよく合う。\(\mu_\text{B}/\text{atom}\) という計算の言葉と emu/g という実験の言葉が、密度・モル質量という物質の素性を介して、はじめて同じ土俵に並んだ。翻訳の一手を踏むとはこういうことである。

6 この章のまとめ ― はじめにの問いに答える

「計算機の中に置いたコバルトは、本物の磁石とどこまで同じなのか」。これがはじめにで立てた問いだった。本書を通して、その「どこまで」に線を引く道具がそろった。

本書が積み上げた数字――\(\Delta E_{\text{FM-NM}}\approx-0.25\) eV/atom、\(M\approx1.6\)–\(1.66\ \mu_\text{B}/\text{atom}\)、金属性を示す有限 DOS、実験近くの格子の谷――は、いずれも実データに照合した確かな値である。コバルトは計算機の中でも磁石になりたがる、という手応えは本物だ。
ただし \(M\) は、絶対零度・SOCなし・周期結晶の中でのスピンの偏りという、特定の枠の中の量である。飽和磁化・\(T_\text{c}\approx1388\ \text{K}\)・磁気異方性は、同じ \(\mu_\text{B}\) の顔をしていても別の量で、別の道具で測る。\(\mu_\text{B}/\text{atom}\) と実験磁化を結ぶには、密度・モル質量を介した単位の翻訳が要る。
同じ一束の計算から、観察・比較・限定付きの主張・翻訳の注意・言い過ぎという、強さの違う主張を引ける。言えるのは「PBE・PAW・SOCなし・T=0 で強磁性解を好む」までで、\(T_\text{c}\) や異方性の再現は計算が支えない。
言えなかった量のそれぞれに、次の道具がある――より密な k 点と relax/vc-relax、SOC を含む計算、有限温度の枠組み。問いが先にあり、道具はそれに合わせて選ぶ。

計算が返した「スピンの偏り」と、実験が測る「磁石の強さ」。そのあいだに、あなたはいま、自分の手で線を引ける。どこまでが言えて、どこからが翻訳を待ち、どこからが言い過ぎか。その線を引く目こそ、コバルトを離れても、別の物質でも、人の論文を読むときでも、同じようにはたらく。計算機の中のコバルトは、どこまで磁石らしいか――その答えは、一つの数字ではなく、強さの違う主張の並びとして、あなたの手元にある。