5 見分けがつかない波とブリルアンゾーン
格子点だけを見る観測者にとって、同じに見えてしまう波があるとしたら。
その「見分けのつかなさ」が、波数に代表範囲を生む。
この章のゴール：逆格子を高校物理の正弦波から導き、格子点で見分けがつかない波の存在からブリルアンゾーンを「波数の代表範囲」として説明できる。そして、結晶の周期に同期する波 \(\mathbf{G}\) と、電子状態を分類する波数 \(\mathbf{k}\) を、別物として区別できるようになる。
ここまでの二章で、結晶を実空間に「置く」道具がそろった。格子ベクトルと基底で結晶を畳み、分率座標で原子の住所を読み書きできる。第1章で一度、心にとめておいた一文があった――整数倍の並進だけが結晶を自分自身に戻す。\(\mathbf{R}=n_1\mathbf{a}_1+n_2\mathbf{a}_2+n_3\mathbf{a}_3\) の整数 \(n_i\) が、その鍵だった。
本章では、この「整数倍でぴたりと戻る」という性質を、波の側から眺め直す。結晶に波を重ねたとき、結晶の周期にうまく噛み合う波と、噛み合わない波がある。さらに進むと、連続的には別物の波が、原子の位置だけを見ている観測者には同じに見える、という事態が起きる。この二つの観察から、逆格子とブリルアンゾーンが、暗記なしで立ち上がる。
天下りを避けるため、まずは1次元――等間隔に並んだ原子の列――だけで話を尽くす。3次元の本格的な逆格子ベクトルは次章に譲り、ここでは「なぜそうなるか」を一本道で見届ける。
1 原子列に波を重ねる ― 原子一個分の位相
等間隔 \(a\) で、原子が一列に並んでいるとしよう。位置は \(x=0,\ a,\ 2a,\ \dots,\ ma\)（\(m\) は整数）である。第1章の格子を、いちばん簡単な1次元に切り詰めたものだ。
この列に、高校物理でおなじみの正弦波を重ねる。
\[ y = \sin(kx) \]
ここで \(k\) は波数で、波長 \(\lambda\) とは \(k=2\pi/\lambda\) で結ばれる。\(k\) が大きいほど波は細かく、小さいほどゆったりだ。
いま知りたいのは、この波が原子の位置でどうふるまうか、である。隣り合う原子は \(x\) が \(a\) だけ離れている。波の位相 \(kx\) は、原子一個ぶん進むあいだに
\[ k(x+a) - kx = ka \]
だけ増える。この \(ka\)――原子一個分の位相の進み――が、この章を通して効く量である。波がゆったり（\(k\) 小）なら \(ka\) は小さく、隣の原子へ行ってもほとんど位相が変わらない。波が細かい（\(k\) 大）なら \(ka\) は大きく、原子ごとに位相が大きく飛ぶ。
2 結晶の周期に同期する波 ― 1次元の逆格子
では問う。原子の位置だけを見たとき、波が毎回そっくり同じに見えるのは、どんな \(k\) のときか。
「そっくり同じ」とは、波が格子の周期に乗っている、つまり \(a\) だけずらしても波形が変わらないことだ。式で書けば、すべての \(x\) で
\[ \sin\,(k(x+a)) = \sin(kx) \]
が成り立てばよい。左辺は \(\sin(kx+ka)\) だから、これが全ての \(x\) で右辺に一致する条件は、原子一個分の位相 \(ka\) が \(2\pi\) の整数倍であること――
\[ ka = 2\pi n \quad\Longrightarrow\quad k = \frac{2\pi n}{a} \qquad (n\in\mathbb{Z}) \]
である。整数 \(n\) が顔を出した。第1章で実空間の並進が整数 \(n_i\) で刻まれたのと同じように、波の側でも、結晶に噛み合う波数が整数 \(n\) で刻まれて並ぶ。この \(k=2\pi n/a\) が並んだ点の集まりを、1次元の逆格子と呼ぶ。3次元では、この \(2\pi/a\) にあたる量が逆格子ベクトル \(\mathbf{b}_1\)（\(\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}\)）になり、整数倍で並んだ \(\mathbf{G}=h\mathbf{b}_1+k\mathbf{b}_2+l\mathbf{b}_3\) が逆格子点を埋める。本章ではその1次元版を、波から手に入れたことになる。
実空間と逆格子は、きれいに対応する。
| 実空間（原子の位置） | 逆格子（同期する波数 \(k\)） | その波の波長 \(\lambda\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(\infty\)（一様） |
| \(a\) | \(2\pi/a\) | \(a\) |
| \(2a\) | \(4\pi/a\) | \(a/2\) |
| \(3a\) | \(6\pi/a\) | \(a/3\) |
右端の列が読みどころだ。\(k=2\pi/a\) の波は波長 \(\lambda=a\)、ちょうど原子間隔ひとつ分で一波長。\(k=4\pi/a\) なら \(\lambda=a/2\) で、原子間隔に二波長が収まる。結晶の周期に同期する波とは、波長が原子間隔 \(a\) の整数分の一になっている波のことだ、と言い換えられる。\(a\) を一目盛りとして、波がちょうど目盛りごとに同じ位相へ戻る。これが逆格子の正体である。
小課題 4.1
等間隔 \(a\) の原子列に、波長 \(\lambda=a,\ 2a,\ a/2,\ 4a\) の四つの波を順に重ねる。それぞれ波数 \(k=2\pi/\lambda\) を求め、原子の位置 \(x=0,a,2a,\dots\) で毎回同じ位相に戻る（結晶の周期に同期する）のはどれかを判定せよ。判定の基準は、原子一個分の位相 \(ka\) が \(2\pi\) の整数倍になるかどうかである。
解答例
それぞれ \(ka=2\pi a/\lambda\) を計算する。
- \(\lambda=a\)：\(ka=2\pi\)。\(2\pi\) の \(1\) 倍だから同期する（\(n=1\)、逆格子点）。
- \(\lambda=2a\)：\(ka=\pi\)。\(2\pi\) の整数倍にならないので同期しない。原子ごとに位相が半周ぶんずれ、\(+1,-1,+1,\dots\) と符号が交代する。
- \(\lambda=a/2\)：\(ka=4\pi\)。\(2\pi\) の \(2\) 倍だから同期する（\(n=2\)）。
- \(\lambda=4a\)：\(ka=\pi/2\)。整数倍にならず同期しない。原子四個でやっと一周する、ゆるい波だ。
同期するのは \(\lambda=a\) と \(\lambda=a/2\)、すなわち波長が \(a\) の整数分の一になっている波に限られる。表の対応がそのまま手元で確かめられた。
3 格子点で見分けがつかない波
ここからが、この章の山場だ。逆格子は「結晶に同期する波」の集まりだった。今度は視点を変える。原子の位置でしか波を観測できないとしたら、何が起こるか。
二つの波を比べよう。波数 \(k\) の波と、それに逆格子ひとつ分 \(2\pi/a\) を足した波数 \(k+2\pi/a\) の波である。連続的に \(x\) を動かして眺めれば、この二つは波長の違う別物だ。ところが、原子の位置 \(x=ma\)（\(m\) は整数）でだけ値を読むと、様子が一変する。余弦で書いて確かめよう。
\[ \cos\,\big( (k+\tfrac{2\pi}{a})\,ma \big) = \cos\,( kma + 2\pi m ) = \cos(kma) \]
最後の等号は、余弦が \(2\pi\) 周期で、整数 \(m\) に対し \(2\pi m\) を足しても値が変わらないことによる。つまり原子の位置だけを見るかぎり、\(k\) の波と \(k+2\pi/a\) の波は、一点残らず同じ値を返す。観測者は、この二つを見分けられない。
図 1 が、その様子である。なめらかな実線（\(\cos(kx)\)）と、細かく波打つ破線（\(\cos((k+2\pi/a)x)\)）は、連続的にはまるで違う波だ。だが緑の点――原子の位置――の上では、必ず同じ高さで交わっている。
これは、波数に \(2\pi/a\) を足しても、格子の上では何も新しい情報が増えないことを意味する。\(k\) と \(k+2\pi/a\)、さらに \(k+4\pi/a,\ k-2\pi/a,\dots\) は、すべて格子から見れば同じ一つの波を指している。波数 \(k\) は、\(2\pi/a\) を法として丸めて読めばよい。第2章で分率座標を「\(1\) を法として」読んだのと、同じ構図が逆空間で立ち現れる。実空間では \(1\) 周期、逆空間では \(2\pi/a\) 周期。畳む向きが裏返っただけだ。
よくある混同
「二つの波が完全に同じ波になった」と読むのは行き過ぎだ。\(\cos(kx)\) と \(\cos((k+2\pi/a)x)\) は、原子と原子のあいだではきちんと違う。一致するのは原子の位置という飛び飛びの点の上だけである。結晶が波を「拾う」のがその飛び飛びの点だから、結晶にとっては区別が要らない――そう理解する。連続的な波そのものと、格子がサンプルした波とを、混同しない。
4 第一ブリルアンゾーン ― 波数の代表範囲
波数 \(k\) は \(2\pi/a\) を法として丸めてよい。とすれば、ありとあらゆる \(k\) をいちいち持ち歩く必要はない。\(2\pi/a\) の幅でひと区切りして、その中の代表だけを選べば足りる。問題は、どこを代表区間にとるか、である。
自然な選び方は、原点 \(k=0\) を中心に左右へ均等に広げることだ。\(k\) に等価な隣の代表は \(k+2\pi/a\) と \(k-2\pi/a\)、原点から見れば \(+2\pi/a\) と \(-2\pi/a\) にある。この二つの隣のちょうど中間で区切れば、どの \(k\) も「最寄りの逆格子点」に属することになる。中間点は
\[ k = \pm\frac{1}{2}\cdot\frac{2\pi}{a} = \pm\frac{\pi}{a} \]
だから、代表区間は
\[ -\frac{\pi}{a} \;\le\; k \;\le\; \frac{\pi}{a} \]
ととる。これを第一ブリルアンゾーン（first Brillouin zone、BZ）と呼ぶ。幅はちょうど \(2\pi/a\)、逆格子ひと区切りぶんだ。\(\pi/a\) で切る理由は、ただ一つ――そこが原点の代表と隣の代表のちょうど中間で、どちらに属するかの境目だからである。
3次元では、この「最寄りの逆格子点で区切る」操作が、逆格子点を垂直二等分する面で囲まれた領域を切り出す。図 2 は、その2次元版だ。六方格子の逆格子点が並び、原点（\(\Gamma\) 点）を囲む六角形が第一ブリルアンゾーンになっている。原点と最寄りの逆格子点 \(\mathbf{G}\) を結ぶ線分の垂直二等分線が、六角形の辺を作る。1次元で「\(\pi/a\) は隣との中間」と言ったことが、2次元では「垂直二等分線で囲む」という形で繰り返されている。
小課題 4.2
1次元で原子間隔を \(a\) とする。次の三つの波数を、\(2\pi/a\) ずつ足し引きして第一ブリルアンゾーン \(-\pi/a\le k\le \pi/a\) の中へ折りたたみ、それぞれの代表値を求めよ。(i) \(k=3\pi/a\)、(ii) \(k=5\pi/2a\)、(iii) \(k=-2\pi/a\)。
解答例
\(2\pi/a\) を足し引きして \([-\pi/a,\ \pi/a]\) に入れる。
- \(k=3\pi/a\) から \(2\pi/a\) を引くと \(\pi/a\)。これは区間の端で、第一 BZ に入る。代表は \(\pi/a\)。
- \(k=5\pi/2a=2.5\pi/a\) から \(2\pi/a\) を引くと \(0.5\pi/a=\pi/2a\)。区間内なので代表は \(\pi/2a\)。
- \(k=-2\pi/a\) に \(2\pi/a\) を足すと \(0\)。代表は \(0\)（原点と同値）。
いずれも、もとの波は格子の上では代表の波と見分けがつかない。波数がどれだけ大きく見えても、結晶にとって本質的な情報は第一 BZ の一区間に畳まれている――この事実が、次章のミラー指数、第6章の k 点サンプリングの土台になる。
5 \(\mathbf{G}\) と \(\mathbf{k}\) は別物である
ここまでで、二種類の波数が出てきた。混同を避けるために、正面から分けておく。
一つは、結晶の周期に同期する波 \(\mathbf{G}\)（1次元なら \(2\pi n/a\)）。これは結晶そのものが決める、飛び飛びの逆格子点だ。回折や、結晶の周期ポテンシャルを表すのに使う。
もう一つは、電子の状態のような「結晶に乗った波」を分類するための波数 \(\mathbf{k}\) である。\(\mathbf{k}\) は連続的にとれるが、\(\mathbf{G}\) だけずれた \(\mathbf{k}\) と \(\mathbf{k}+\mathbf{G}\) は格子の上で見分けがつかないので、第一ブリルアンゾーンの中の代表だけ考えれば足りる。
| \(\mathbf{G}\)（逆格子ベクトル） | \(\mathbf{k}\)（波数） | |
|---|---|---|
| 何を表すか | 結晶周期に同期する波 | 結晶に乗った状態を分類する波 |
| 値のとり方 | 飛び飛び（\(\mathbf{G}=h\mathbf{b}_1+k\mathbf{b}_2+l\mathbf{b}_3\)） | 連続。ただし第一 BZ の代表で足りる |
| 1次元での姿 | \(2\pi n/a\)（逆格子点） | \(-\pi/a\le k\le\pi/a\)（代表範囲） |
| 決めるのは | 結晶の周期そのもの | そこに置く状態（電子など） |
| 主な出番 | 回折・周期ポテンシャル（第5章） | 電子状態・k 点（第6章） |
両者の関係は一行で言える。\(\mathbf{k}\) に \(\mathbf{G}\) を足しても、格子の上では同じ状態を指す。だから \(\mathbf{k}\) は \(\mathbf{G}\) を法として、第一 BZ に丸めて読む。\(\mathbf{G}\) は「物差しの目盛り」、\(\mathbf{k}\) は「その目盛りで測る対象」だと思えばよい。
なお、表の \(\mathbf{G}=h\mathbf{b}_1+k\mathbf{b}_2+l\mathbf{b}_3\) に現れる \(h,k,l\) は、逆格子点に振った整数の番号であって、波数ベクトル \(\mathbf{k}\) や1次元の波数 \(k\) とは別物だ。同じ文字 \(k\) が違う役で顔を出すので、文脈で読み分けたい（この \(h,k,l\) は次章のミラー指数で本格的に使う）。
よくある混同
\(\mathbf{G}\) と \(\mathbf{k}\) は、どちらも単位が Å⁻¹ で、どちらも逆空間に住む。見た目が近いので取り違えやすい。区別の鍵は役割だ。\(\mathbf{G}\) は結晶が決める飛び飛びの点で、結晶を取り替えない限り動かない。\(\mathbf{k}\) はそこに置く状態に振るラベルで、第一 BZ の中を連続的に動く。「結晶側の \(\mathbf{G}\)」と「状態側の \(\mathbf{k}\)」――この二つを取り違えると、逆空間の話が一気にこんがらがる。
なお、波をひとまとめに扱うとき、\(\cos\) と \(\sin\) を別々に書く代わりに \(\exp(i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r})\) という複素数の書き方を使うことがある。これは正弦波と余弦波をまとめた省略記法だと思っておけばよい。本章の議論は実数の \(\cos,\ \sin\) だけで閉じているので、複素数の本格的な扱いは必要になる第5章以降に譲る。
6 素朴な \(2\pi/a\) が破れるとき
ここまで、原子間隔 \(a\) に対し、同期する波数は \(2\pi/a\)、その整数倍――と素直に進んできた。1次元では、これで何も問題がない。実は、軸が直角に交わる立方格子のような場合も、各軸でこの素朴な対応がそのまま効く。
ところが、本書の Co 金属は六方晶で、二つの軸が \(120°\) で交わっている。ここで素朴な \(2\pi/a\) を当てると、合わない。\(a\approx2.51\) Å なら \(2\pi/a\approx2.50\) Å⁻¹ と見積もりたくなるが、正しい逆格子ベクトルの長さは
\[ |\mathbf{b}_1| = \frac{4\pi}{\sqrt{3}\,a} \approx 2.89\ \text{Å}^{-1} \]
で、\(2.50\) Å⁻¹ とは一致しない。いっぽう、直角に交わる \(c\) 方向だけは \(|\mathbf{b}_3|=2\pi/c\) がぴったり成り立つ。「はじめに」で置いた石――素朴な直感は直交格子でしか効かない――が、ここで顔を出す。
なぜ斜めの軸では \(\sqrt{3}\) の補正が入るのか。その答えは、逆格子ベクトルを内積の条件 \(\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}\)（\(\delta_{ij}\) は \(i=j\) で \(1\)、\(i\neq j\) で \(0\)）から正面から導く次章で回収する。本章で手に入れた「同期する波＝逆格子」という1次元の像が、その3次元版を読む土台になる。
7 この章の到達点
高校物理の正弦波から出発して、逆空間の二つの主役を手に入れた。結晶の周期に同期する波――波長が原子間隔の整数分の一になる波――が逆格子 \(\mathbf{G}\) を作り、その間隔 \(2\pi/a\) を法として丸めた波数 \(\mathbf{k}\) の代表範囲が第一ブリルアンゾーン \(-\pi/a\le k\le\pi/a\) になる。\(\pi/a\) で切るのは、そこが隣の代表とのちょうど中間だからだった。そして \(\mathbf{G}\)（結晶が決める目盛り）と \(\mathbf{k}\)（状態に振るラベル）は、別の役割をもつ別物である。
次章では、この \(\mathbf{G}\) を1次元から3次元へ引き上げ、\(\mathbf{a}_i\cdot\mathbf{b}_j=2\pi\delta_{ij}\) から逆格子ベクトルを導いて、\(|\mathbf{b}_1|\neq2\pi/a\) という \(\sqrt{3}\) の宿題を片づける。さらに第6章では、第一 BZ をどれくらい細かく標本化すれば足りるか――k 点という、計算の細かさそのものの話に進む。波数の代表範囲をどう刻むかが、そこで計算の重さを決める。