7 同じ現象を、同じ内容で語れているか

力の向きと、物体が動く向きは、いつ一致し、いつ一致しないのか。

この問いに、今の自分ならどう答えるだろうか。思い浮かんだ場面を一つ、余白にメモしておいてほしい。この章を読み終えたとき、その答えがどう変わるかを確かめる。

ボールを真上に投げる。ボールは上がり、最高点で一瞬止まり、落ちてくる。初めてこの現象を説明しようとすると、次のようになりがちである。

「上がっているときは上向きの力がある。最高点で力がなくなる。だから止まる。そのあと重力が効いて落ちてくる。」

この説明は自然に聞こえる。しかし物理として見ると、少なくとも二つの問題がある。

第一に、「上がっているとき上向きの力がある」は誤りである。手を離れた瞬間から、小球にはたらく力は重力だけであり、常に下向きである。

第二に、「最高点で力がなくなる」も誤りである。速度がゼロになる瞬間にも、重力は変わらず下向きにはたらいている。

問題は、この種の誤りが「言葉だけ」で考えていると気づきにくいという点にある。力の図を描けば、最高点でも矢印は下を向く。速度─時間グラフを描けば、速度がゼロを横切るだけで加速度は一定であることが見える。式を書けば、\(a = -g\) が時刻に依存しないことが明示される。

つまり、表現を増やすと、矛盾に気づきやすくなる。これがこの章の主題である。

これまでの章では、主張を言葉で組み立てる方法を学んできた。第2章では主張・証拠・理由づけ（CER）を、第4章では条件付き主張を、第5章ではモデルの前提を、第6章では実験計画を扱った。

この章では、一つの現象を複数の表現──言葉・図・グラフ・式──で語り、それらが同じことを言っているかを確認する方法を学ぶ。

7.1 なぜ表現を増やすのか

一つの表現だけで完璧な説明を書くことは、実は難しい。それぞれの表現には得意なことと苦手なことがある。

言葉は、因果関係や条件を柔軟に記述できる。しかし、曖昧さが入り込みやすく、「力がなくなる」のような表現が正確さを欠いていても、文として成立してしまう。

力の図（力の矢印）は、ある瞬間に物体にはたらく力の向きと大きさを視覚的に示す。ただし、時間変化を一枚の図で表すことは苦手である。

グラフは、物理量の時間変化を正確に示す。しかし、なぜそうなるかという因果関係は、グラフだけからは読み取りにくい。

式は、物理量の関係を最も簡潔に記述する。ただし、式の中に入っている仮定が見えにくい。

一つの表現には死角がある。複数の表現で同じ現象を語り、互いに照合することで、死角を補いやすくなる。

ここで重要なのは、表現を増やす目的が「たくさん書く」ことではない点である。目的は、表現同士の整合性を確認することにある。もし言葉と図が矛盾していたら、どちらかが（あるいは両方が）間違っている。矛盾を見つけること自体が、理解を深める過程である。

次の四つの表現のうち、それぞれの「得意なこと」と「苦手なこと」を一つずつ挙げよ。

言葉による説明
力の図（力の矢印を描いた図）
速度─時間グラフ
数式

表現	得意なこと	苦手なこと
言葉	条件や因果関係を柔軟に記述できる	曖昧さが入りやすく、誤りが文として成立してしまう
力の図	ある瞬間の力の向き・大きさを視覚的に示す	時間変化を表しにくい
速度─時間グラフ	物理量の時間変化を正確に示す	なぜそうなるか（因果関係）が読み取りにくい
数式	物理量の関係を簡潔かつ正確に記述する	式の中に含まれる仮定が見えにくい

7.2 言葉を図にする

投げ上げた小球について、三つの場面を考える。

上昇中：小球が上に向かって動いている瞬間
最高点：小球が一瞬止まった瞬間
下降中：小球が下に向かって動いている瞬間

まず、言葉で説明を書く。

手を離れたあと、小球にはたらく力は重力だけである（空気抵抗は無視する）。重力は常に下向きにはたらく。上昇中も、最高点でも、下降中でも、力の向きと大きさは変わらない。

この説明を力の図に翻訳する。力の図では、物体を点（または小さな四角）で表し、はたらいている力を矢印で描く。

三つの場面すべてにおいて、力の図は同じになる。下向きの矢印が一本だけ描かれ、その長さ（重力の大きさ \(mg\)）は三場面で変わらない。

図 7.1: 投げ上げた小球の力の図：上昇中・最高点・下降中のいずれの場面でも、はたらく力は重力（下向き、大きさ \(mg\)）だけであり、力の図は三場面で同一である。速度（青矢印）の向きや大きさは変わるが、力は変わらない。

ここが最初のチェックポイントである。

多くの人が「上昇中には上向きの力もあるはずだ」と考える。しかし力の図を描いてみると、上向きの力の正体が見つからない。手はすでに離れている。空気抵抗は無視している。上向きの矢印を描くなら、それが何の力なのかを答えられなければならない。

力の図は「何の力か」を問う。名前のない矢印を描くことはできない。

同様に、「最高点で力がゼロ」と考える人がいる。しかし力の図で重力の矢印を消すことは、重力が消えたと言うことに等しい。最高点で速度がゼロであることと、力がゼロであることは、まったく別のことである。

言葉だけでは「止まったから力がない」という推論が自然に聞こえる。しかし図にすると、力の矢印を消す理由がないことが視覚的に明らかになる。これが、表現を変えることの意義の一つである。

次の三つの場面について、小球にはたらく力の図を描け。空気抵抗は無視する。

上昇中
最高点
下降中

それぞれの図で、力の矢印の向き・大きさ・本数が同じか違うかを述べ、その理由を書け。

三つの場面すべてで、力の図は同じである。

矢印の向き：下向き
矢印の大きさ：\(mg\)（一定）
矢印の本数：1本（重力のみ）

理由：手を離れたあとの小球にはたらく力は重力だけであり、重力は物体の速度や位置によらず常に下向きに \(mg\) の大きさではたらく。上昇中に「上向きの力」は存在しない（手はすでに離れている）。最高点で速度がゼロになるのは、力がゼロだからではなく、上向きの初速度が重力によって減速されてゼロに達した瞬間だからである。

7.3 図をグラフにする

力の図は「ある瞬間」の情報を示す。しかし投げ上げ運動は「時間とともに変わる」現象である。そこで、グラフの出番になる。

三つのグラフを考える。

速度─時間グラフ（\(v\)-\(t\) グラフ）

上向きを正とする。投げた瞬間の速度は正（上向き）であり、時間とともに一定の割合で減少する。最高点で速度がゼロになり、その後は負（下向き）になって、さらに減少し続ける。グラフの形は、右下がりの直線である。

このグラフから何が読めるか。

傾きが加速度を表す。直線の傾きは一定なので、加速度は一定である。
傾きの符号が負であることは、加速度が下向きであることを示す。
速度がゼロを横切る瞬間が最高点にあたる。

図 7.2: 投げ上げの速度−時間グラフ：右下がりの直線であり、速度がゼロを横切る点が最高点に対応する。傾き（加速度）は全区間で \(-g\)（一定）であり、力の図と整合する。

ここで力の図との照合を行う。力の図では三場面すべてで下向きの力が一定であった。 \(v\)-\(t\) グラフでも、傾き（加速度）が常に一定で負である。これは整合している。

もし「最高点で力がゼロ」だとしたら、\(v\)-\(t\) グラフの傾きは最高点で水平になるはずである。しかし実際のグラフは最高点でも直線のままであり、傾きは変わらない。つまり、\(v\)-\(t\) グラフは「最高点で力がゼロ」という言葉を否定している。

位置─時間グラフ（\(y\)-\(t\) グラフ）

上向きを正とする。グラフの形は上に凸の放物線になる。放物線の頂点が最高点に対応する。

図 7.3: 投げ上げの位置−時間グラフ：上に凸の放物線であり、頂点で接線の傾きが 0（速度がゼロ）になる。頂点が最高点に対応する。

このグラフでよくある誤読は、「頂点で曲線が平らだから、力がゼロだ」という解釈である。しかし位置─時間グラフの傾きは速度を表すのであって、力ではない。頂点で傾きがゼロなのは、速度がゼロであることを示しているにすぎない。

グラフを別の表現と照合するときは、グラフの何が何を表しているかを正確に対応づける。傾きを力と読み違えるだけで、結論が逆になる。

次の文が正しいか誤りかを判定し、理由を書け。

「\(v\)-\(t\) グラフが右下がりの直線だから、小球は減速し続けている。」
「\(v\)-\(t\) グラフの傾きが最高点で変わらないから、最高点でも加速度は一定である。」
「\(y\)-\(t\) グラフの頂点で曲線が水平になるから、最高点で加速度はゼロである。」

(a) 正しくない。 \(v\)-\(t\) グラフが右下がりの直線であることは、速度が一定の割合で変化している（加速度が一定である）ことを示している。「減速」とは速さ（速度の絶対値）が小さくなることを指す。上昇中は速さが減少するので「減速」と言えるが、最高点を過ぎたあとは速さが増加するので「加速」である。「減速し続けている」は下降中には当てはまらない。

(b) 正しい。 \(v\)-\(t\) グラフの傾きは加速度を表す。直線であるから傾きは全区間で一定であり、最高点でも加速度は \(-g\) のまま変わらない。これは力の図で三場面すべてにおいて力が同じであることと整合する。

(c) 正しくない。 \(y\)-\(t\) グラフの傾きは速度を表す。頂点で傾きがゼロであることは速度がゼロであることを意味し、加速度がゼロであることを意味しない。加速度は \(y\)-\(t\) グラフの曲がり具合（二階微分）に対応する。頂点でも曲線は曲がっている（下に凸に変化し始める）ので、加速度はゼロではない。

7.4 式は何を短く言っているのか

投げ上げ運動を記述する式は次の通りである（上向き正、初速度 \(v_0\)、\(t = 0\) で投げる）。

\[ v(t) = v_0 - g t \tag{7.1}\]

\[ y(t) = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2 \tag{7.2}\]

式は、言葉やグラフで述べたことを圧縮して書いている。式 7.1 を言葉に戻すと次のようになる。

「任意の時刻 \(t\) における速度は、初速度から、重力加速度に経過時間をかけたものを引いた値である。」

この一文は長い。しかし \(v(t) = v_0 - gt\) であれば一行で済む。式は関係の圧縮であり、それ自体が一つの「主張」を含んでいる。

式が含んでいる主張を明示すると、次のようになる。

加速度は一定（\(-g\)）である。式の中に \(t\) の二乗以上の項がないことがこれを示す。
空気抵抗は無視している。もし空気抵抗があれば、\(v\) に依存する項が加わり、直線にはならない。
一次元運動である。横方向の成分は式に現れない。

つまり、式の背後にはモデルの前提がある。第5章で学んだ「残すもの／捨てるもの」が、式の形を決めている。

式は関係の圧縮であると同時に、仮定の圧縮でもある。式を使うときは「この式は何を捨てているか」を言えなければならない。

ここで他の表現との照合を行う。

式 7.1 は \(v\)-\(t\) グラフの直線に対応する。傾きが \(-g\)、切片が \(v_0\) である。
式 7.2 は \(y\)-\(t\) グラフの放物線に対応する。
「加速度が一定」は、力の図で三場面すべてにおいて力が同じであることに対応する（\(F = ma\) より \(a\) が一定なら \(F\) も一定）。

四つの表現が、同じ現象の同じ側面を、異なる角度から語っている。このことを確認できたとき、説明の整合性が保証される。

図 7.4: 四表現の対応関係：言葉・力の図・グラフ・式の四つの表現は、互いに照合することで整合性を確認できる。

次の式について、(a) 言葉に翻訳し、(b) その式が前提としている仮定を二つ以上挙げよ。

\[ T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}} \]

（\(T\)：振り子の周期、\(L\)：糸の長さ、\(g\)：重力加速度）

(a) 言葉への翻訳

振り子の周期は、糸の長さの平方根に比例し、重力加速度の平方根に反比例する。周期は \(2\pi\) 倍の係数を伴い、おもりの質量には依存しない。

(b) 前提としている仮定

振れ幅が十分に小さい（小角度近似 \(\sin\theta \approx \theta\) を使っている）。振れ幅が大きいと周期は長くなり、この式からずれる。
糸の質量は無視できる（質量はすべておもりに集中していると仮定している）。
空気抵抗は無視できる。空気抵抗があると振動は減衰し、周期もわずかに変わりうる。
おもりは質点として扱える（おもりの大きさは糸の長さに比べて十分小さい）。

これらの仮定は、第5章の「残すもの／捨てるもの」の整理と直結している。式に \(m\)（質量）が現れないのは、小角度の単振り子では周期が質量に依存しないことを示しており、第6章で行った振り子実験の結果（質量を変えても周期がほとんど変わらない）とも整合する。

7.5 表現同士の矛盾を見つける

ここまで、同じ現象を四つの表現で語り、それらが整合していることを確認してきた。この節では、逆に矛盾を含む表現のセットを読み、どこが矛盾しているかを見つける練習を行う。

矛盾の発見は、自分の説明を改善する力に直結する。他者の説明の矛盾を見つけられる人は、自分の説明の矛盾にも気づきやすい。

次の説明を読んでほしい。

【説明A】小球を真上に投げたとき

言葉：「小球は最高点に達するまで加速し続け、最高点で最大の速さになる。その後、重力によって減速し、地面に戻る。」

グラフ：\(v\)-\(t\) グラフには右下がりの直線が描かれている。

図 7.5: 矛盾の例：言葉の説明（「最高点まで加速」）と \(v\)-\(t\) グラフ（右下がり直線＝投げた瞬間が最大速度）が矛盾している。

言葉の説明とグラフが矛盾している。言葉では「最高点まで加速」と述べているが、 \(v\)-\(t\) グラフが右下がりの直線であれば、速度は投げた瞬間から減少し続けている。「最高点で最大の速さ」は事実と逆であり、投げた瞬間が最大の速さである。

このような矛盾を見つけるための手順を整理する。

矛盾発見の三ステップ

各表現が言っていることを一文にまとめる。 言葉が何を主張しているか、図が何を示しているか、グラフの傾きや切片が何を意味しているか、式がどんな関係を表しているかを、それぞれ独立に読み取る。
一文同士を並べて比較する。 「言葉はこう言っている」「グラフはこう言っている」を並べたとき、同じことを言っているか、異なることを言っているかを判定する。
矛盾があれば、どちらが正しいかを他の表現で確認する。 言葉とグラフが矛盾しているとき、力の図や式と照合して、どちらの主張が支持されるかを判断する。

矛盾を見つけるとは、二つの表現を並べて「これは同じことを言っているか」と問うことである。

次の【説明B】と【説明C】には、それぞれ表現間の矛盾が含まれている。矛盾の箇所を指摘し、正しくはどうあるべきかを書け。

【説明B】小球を真上に投げたとき

言葉：「手を離れたあと、小球にはたらく力は重力だけで、常に下向きである。」

力の図：上昇中の図に、上向きの矢印（投げた力）と下向きの矢印（重力）の2本が描かれている。最高点と下降中の図には下向きの矢印（重力）のみ。

【説明C】小球を真上に投げたとき

式：\(v(t) = v_0 - g t\)

グラフ：\(v\)-\(t\) グラフには、最高点までは右下がりの直線、最高点から先は右上がりの直線（V字型）が描かれている。

【説明B】の矛盾

言葉では「手を離れたあとは重力だけ」と書いている。しかし力の図では、上昇中に「投げた力」が上向きの矢印として描かれている。これは矛盾する。手を離れた瞬間に手からの力は消えるため、上昇中にも力は重力のみである。正しくは、三場面すべてで下向きの矢印（重力）1本だけになる。

なお、「上向きの力があるから上に動く」という直感は根強い。しかし物体が上に動いているのは、初速度が上向きだからであり、力が上向きだからではない。力は速度の変化（加速度）に対応するものであって、速度の向きに対応するとは限らない。

【説明C】の矛盾

式 \(v(t) = v_0 - gt\) は \(t\) の一次関数であり、全区間で一本の直線になる。しかしグラフではV字型が描かれており、最高点の前後で傾きの符号が変わっている。これは矛盾する。正しくは、\(v\)-\(t\) グラフは一本の右下がりの直線であり、最高点で速度がゼロを横切るだけで、傾き（加速度）は変わらない。

V字型のグラフが描かれやすいのは、「速さ」（速度の絶対値 \(|v|\)）と「速度」（符号を含む）を混同しているためである。「速さ」のグラフなら確かにV字型になるが、「速度」のグラフは直線のままである。

7.6 複数表現で一つの説明を書く

ここまでの各節で、四つの表現（言葉・力の図・グラフ・式）を個別に扱い、その整合性を確認してきた。この節では、四つの表現を統合して一つの説明を書く方法を練習する。

統合とは、四つの表現をただ並べることではない。 表現と表現のあいだに、対応関係を言葉で書くことが統合である。

次の例を見てほしい。

【統合された説明の例】小球を真上に投げたとき

手を離れたあと、小球にはたらく力は重力のみであり、常に下向きに \(mg\) の大きさではたらく（力の図参照）。この一定の力は、ニュートンの第二法則 \(F = ma\) により一定の加速度 \(a = -g\) を生み出す。

この加速度が一定であることは、\(v\)-\(t\) グラフの傾きが常に \(-g\) であること──すなわちグラフが右下がりの直線であること──として現れる。速度の式 \(v(t) = v_0 - gt\) はこの直線を代数的に表現したものである。

\(v\)-\(t\) グラフで速度がゼロを横切る時刻 \(t^* = v_0 / g\) が最高点に対応する。この瞬間、速度はゼロだが加速度は \(-g\) のまま変わらない。力の図でも、最高点で重力の矢印が消えることはない。「止まったから力がない」のではなく、「力があるからこそ、上向きの速度がゼロに到達した」のである。

位置の式 \(y(t) = v_0 t - \frac{1}{2}gt^2\) は \(y\)-\(t\) グラフの放物線に対応し、放物線の頂点が最高点を与える。

この説明で注目してほしいのは、次のような表現同士をつなぐ文である。「力の図参照」「グラフの傾きが常に \(-g\) であること──すなわちグラフが右下がりの直線であること──として現れる」「この直線を代数的に表現したもの」といった文が、表現間の対応関係を明示している。

よい物理の説明とは、言葉・図・式・グラフが同じことを言っている説明である。そして、表現同士の対応関係が読み手に見える説明である。

統合された説明を書くための手順を整理する。

四表現統合の手順

言葉で現象の概要を書く（何が起きるか、何の力がはたらくか）。
力の図を対応させる（言葉の「力は〜」の部分と図を結ぶ）。
グラフを対応させる（力の図の「力が一定」がグラフのどこに現れるかを書く）。
式を対応させる（グラフの形が式のどの項に対応するかを書く）。
表現間の対応関係を接続文として書く。

次の題材について、四つの表現（言葉・力の図・\(v\)-\(t\) グラフ・式）で説明を書き、表現間の対応関係を接続文として示せ。

題材：摩擦のない水平面上で、静止していた物体に一定の力 \(F\) を加え続ける。

ヒント：力は一定で一方向、初速度はゼロ、加速度は \(a = F/m\) で一定。

言葉：摩擦のない水平面上に静止している質量 \(m\) の物体に、水平右向きに一定の力 \(F\) を加え続ける。物体にはたらく力は、水平方向には \(F\) のみ（垂直方向は重力と垂直抗力がつり合う）。ニュートンの第二法則より加速度は \(a = F/m\) で一定であり、物体は右向きに等加速度運動をする。

力の図：物体を点で表し、右向きに長さ \(F\) の矢印を描く。上向きに垂直抗力 \(N\)、下向きに重力 \(mg\) の矢印を描く（\(N = mg\)）。この図は全時刻で同じである。

\(v\)-\(t\) グラフ：原点を通る右上がりの直線。傾きは \(a = F/m\) である。

式：\(v(t) = \frac{F}{m} t\)、\(x(t) = \frac{1}{2}\frac{F}{m} t^2\)

対応関係：力の図で水平方向の力が一定の \(F\) であることは、\(v\)-\(t\) グラフの傾きが一定であること、すなわち直線であることに対応する。式 \(v(t) = (F/m)t\) はこの直線を代数的に表したものである。また初速度がゼロであることは、\(v\)-\(t\) グラフが原点を通ること、式で \(t = 0\) のとき \(v = 0\) であることに対応している。

7.7 まとめと小演習

この章で扱ったことを振り返る。

まず、各表現には得意・不得意があり、一つの表現だけでは死角が残ることを確認した（セクション 7.1）。次に、投げ上げ運動を題材に、言葉から力の図へ（セクション 7.2）、力の図からグラフへ（セクション 7.3）、グラフから式へ（セクション 7.4）と、段階的に表現を増やしながら整合性を確認した。さらに、矛盾を含む説明を読んで問題を発見する練習（セクション 7.5）と、四つの表現を統合して一つの説明を書く練習（セクション 7.6）を行った。

以上をまとめると、次のことが言える。

この章で身につけたい力

一つの現象を言葉・図・グラフ・式の複数表現で記述できる。
各表現が同じことを言っているかどうかを確認できる。
表現間の対応関係を接続文として言語化できる。
表現間の矛盾を発見し、どちらが正しいかを他の表現で判定できる。

第II部の構成を振り返っておく。

第5章（モデル）：現象の何を残し、何を捨てるかを整理した。
第6章（実験計画）：何を変え、何を固定するかを設計した。
第7章（複数表現）：同じ現象を複数の表現で語り、整合性を確認した。

これら三つは、説明を「組み立てる」段階の異なる側面である。第5章でモデルの前提を明確にし、第6章でその前提を実験で検証する方法を学び、この章では検証結果を表現し伝える方法を学んだ。

第8章では、データの「不確かさ」を扱う。測定にはばらつきがある。そのばらつきを踏まえた上で、どこまで強く結論を言えるかを判断する方法を学ぶ。

小演習

次の説明を読み、(a) 表現間の矛盾を指摘し、(b) 矛盾を解消するように修正せよ。

言葉：「水平に投げ出した物体は、重力によって下に曲がる。水平方向には力がはたらかないので、水平方向の速さは一定である。」

\(v_x\)-\(t\) グラフ（水平方向の速度─時間グラフ）：原点から右上がりの直線が描かれている。

(a) 矛盾の指摘

言葉では「水平方向には力がはたらかないので、水平方向の速さは一定」と述べている。しかし \(v_x\)-\(t\) グラフが右上がりの直線だとすると、水平方向の速度が時間とともに増加していることを意味する。「一定」と「増加」は矛盾する。

(b) 修正

言葉の説明が正しい。水平方向に力がはたらかないなら、水平方向の加速度はゼロであり、速度は一定のままである。したがって \(v_x\)-\(t\) グラフは水平な直線（傾きゼロ）に修正すべきである。グラフの縦軸の値は投げ出した瞬間の水平方向の速さ \(v_0\) で一定となる。

次の式を読み、(a) 言葉に翻訳し、(b) この式が何を捨てているかを二つ挙げ、(c) \(v\)-\(t\) グラフの形を予想せよ。

\[ v(t) = \sqrt{2gh} \]

（高さ \(h\) から自由落下した物体の、地面に到達した瞬間の速さ。\(g\)：重力加速度）

(a) 言葉への翻訳

高さ \(h\) から自由落下（初速度ゼロ）した物体が地面に到達する瞬間の速さは、高さと重力加速度の積の2倍の平方根に等しい。この速さは物体の質量に依存しない。

(b) 捨てているもの

空気抵抗を無視している。空気抵抗があれば、落下中に速度に依存する抵抗力がはたらき、到達速さは \(\sqrt{2gh}\) より小さくなる。
物体の大きさと形状を無視している（質点として扱っている）。回転や変形の効果は考えていない。

(c) \(v\)-\(t\) グラフの形

この式は最終速さだけを与えており、途中経過の情報は含まない。しかし自由落下では \(v(t) = gt\)（下向き正）であるから、\(v\)-\(t\) グラフは原点から右上がりの直線になる。地面に到達する時刻 \(t^* = \sqrt{2h/g}\) で \(v = \sqrt{2gh}\) となり、式の値と整合する。

章末課題：一つの現象を四つの表現で説明する

次の題材から一つを選び、四つの表現（言葉・力の図・グラフ・式）で説明を書け。さらに、表現間の対応関係を示す説明文（250〜400字）を書け。

題材A：斜面を上って引き返す台車（摩擦は無視してよい）

題材B：天井から吊るしたばねにおもりをつけ、手を離したあとの上下運動（ばねの質量は無視してよい）

提出物

四つの表現を並べた「四表現シート」（A4 1枚程度）
- 言葉による説明（5〜8文程度）
- 力の図（少なくとも三つの代表的な場面）
- 速度─時間グラフ（軸の名前・単位・正の向きを明記）
- 運動の式（使った変数の定義を明記）
四つの表現の対応関係を示す説明文（250〜400字）
- 「力の図のここがグラフのここに対応する」のように、具体的に対応を示すこと
- 書くときに迷った箇所や、矛盾に気づいて修正した箇所があれば、それも書くこと

注意

表現を四つ並べるだけでは不十分である。対応関係を言葉で説明することが求められている。
力の図に描く矢印には、必ず「何の力か」を書くこと。名前のない矢印は描かない。

題材A：斜面を上って引き返す台車

言葉：摩擦のない斜面の下端から台車を押し上げる。手を離れた瞬間から、台車にはたらく力は重力と垂直抗力であり、斜面方向の合力は重力の斜面成分 \(mg\sin\theta\) で、常に斜面下向きにはたらく。台車は減速しながら斜面を上り、最高点で速度がゼロになり、その後、斜面を下って加速する。

力の図：上昇中・最高点・下降中の三場面を描く。いずれも重力 \(mg\)（鉛直下向き）と垂直抗力 \(N\)（斜面に垂直で面から離れる向き）の2本。斜面方向の合力は三場面とも \(mg\sin\theta\)（斜面下向き）で変わらない。

\(v\)-\(t\) グラフ：斜面上向きを正とする。正の初速度から右下がりの直線で、途中でゼロを横切り負の領域に入る。投げ上げの \(v\)-\(t\) グラフと同じ形をしている。

式：\(v(t) = v_0 - (g\sin\theta)\, t\)、\(s(t) = v_0 t - \frac{1}{2}(g\sin\theta)\, t^2\)（\(s\)：斜面方向の変位）

対応関係の説明文（320字）：力の図において三場面すべてで斜面方向の合力が \(mg\sin\theta\)（斜面下向き）で一定であることは、\(v\)-\(t\) グラフの傾きが全区間で \(-g\sin\theta\) の一定値であること、すなわちグラフが一本の直線であることに対応する。式 \(v(t) = v_0 - (g\sin\theta)t\) はこの直線を代数的に表現したものである。最高点で速度がゼロになるのは、グラフが時間軸を横切る点に対応し、式では \(t^* = v_0/(g\sin\theta)\) として求まる。最高点でも力の図の矢印が消えないのは、投げ上げの場合と同じ理屈であり、力が一定であるからこそ速度が一定の割合で変化して最終的にゼロに至る。

題材B：天井から吊るしたばねにおもりをつけ、手を離したあとの上下運動

言葉：自然長のばねにおもり（質量 \(m\)）を吊るすと、ばねが伸びてつり合いの位置で静止する。そこから少し下に引いて手を離すと、おもりは上下に振動する。おもりにはたらく力は重力（下向き、一定 \(mg\)）とばねの弾性力（ばねの伸びに比例し、縮む方向にはたらく）である。つり合い位置を原点にとれば、合力はつり合い位置からの変位に比例して復元方向にはたらく。おもりはつり合い位置を中心に上下の単振動を行い、振動の周期は \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\)（\(k\)：ばね定数）で決まり、振幅には依存しない。

力の図：三つの代表的な場面を描く。(1) 最下点：ばねが最も伸びており、弾性力（上向き）が重力（下向き）より大きい。合力は上向き。(2) つり合い位置を通過する瞬間：弾性力と重力がつり合い、合力はゼロ。速さはここで最大になる。(3) 最上点：ばねの伸びが最も小さく、弾性力（上向き）が重力（下向き）より小さい。合力は下向き。三場面で力の矢印の長さと向きが異なる点が、投げ上げや斜面の場合（力が一定）との違いである。

\(v\)-\(t\) グラフ：下向きを正とする。グラフは正弦波（サインカーブ）の形になる。つり合い位置を通過するとき速度の絶対値が最大になり、最上点・最下点で速度がゼロになる。グラフは時間軸を等間隔で横切り、一周期 \(T = 2\pi\sqrt{m/k}\) ごとに同じパターンが繰り返される。

式：つり合い位置を原点、下向きを正とすると、変位 \(x(t) = A\cos(\omega t)\)、速度 \(v(t) = -A\omega\sin(\omega t)\)。ここで \(\omega = \sqrt{k/m}\) は角振動数、\(A\) は振幅である。周期は \(T = 2\pi/\omega = 2\pi\sqrt{m/k}\) となる。

対応関係の説明文（350字）：力の図において、つり合い位置からの変位が大きいほど合力が大きくなることは、式で復元力が \(-kx\) と変位に比例することに対応する。この比例関係が単振動を生み出す。\(v\)-\(t\) グラフが正弦波になるのは、式 \(v(t) = -A\omega\sin(\omega t)\) のサイン関数に対応する。最上点・最下点で速度がゼロになるのは、グラフが時間軸に接する点に対応し、力の図で合力が最大（最も強い復元力）であることと整合する。逆に、つり合い位置で速度が最大になるのは、力の図で合力がゼロであり、それ以上加速されなくなる点を通過する瞬間だからである。投げ上げの場合と異なり、力が位置に依存して変化するため、グラフは直線ではなく曲線（正弦波）になる。

振り返り

何が言えるようになったか 一つの現象を複数の表現で語り、それらが整合しているかを確認できるようになった。表現間の矛盾を見つけ、どちらが正しいかを他の表現で判定する方法を身につけた。式やグラフが何を主張しているかを言葉に翻訳する習慣ができた。
何がまだ危ういか この章では、空気抵抗を無視できる場合に限って議論した。実際の測定では、理論の予測とデータのあいだにずれが生じうる。そのずれがどの程度なら「整合している」と言えるのか── 次の第8章で、不確かさの扱い方を学ぶ。