5 モデルは「嘘」ではなく、道具である
「無摩擦」「質点」「理想ばね」は、現実を無視した”嘘”なのか。
すぐに答えようとしなくてよい。 ただ、物理の教科書で「摩擦を無視する」と書かれたとき、 あなたが感じたことを一言だけメモしておいてほしい。 それがこの章の出発点になる。
物理の教科書を開くと、奇妙な世界が広がっている。 斜面には摩擦がなく、物体は大きさのない点で、 ばねはどこまで伸ばしても元に戻る。 「そんな世界はどこにもない」と感じたことのある人は多いはずである。
この違和感は正当である。 現実の世界には摩擦があり、物体には形があり、 ばねは引っ張りすぎれば壊れる。 教科書が描く世界と現実は違う。
しかし、だからといって教科書の記述が「嘘」かと言えば、そうではない。 教科書が行っているのは、目的に応じて現象を単純化することである。 この単純化の道具を、物理ではモデルと呼ぶ。
第4章では、断言に隠れた条件を見つけ、条件を加えて主張を精密化する方法を学んだ。 この章では、その「条件」の多くが、実はモデルの前提であることを示す。 モデルを意識することで、主張に条件を加える行為の意味がより深く見えてくる。
5.1 なぜモデルが必要なのか
一枚の紙を机の上から静かに離したときの動きを、 完全に予測しようとしてみる。
紙は落ちながら揺れ、回転し、ときに滑空する。 この動きを正確に記述するためには、 紙の形状、厚さ、柔軟性、空気の密度、 部屋の気流、紙を離すときの角度、初速度…… を全部考慮しなければならない。 仮にそれらを全部方程式に入れたとしても、 空気の微細な乱流は予測不能であり、 結果は毎回変わる。
一方、同じ高さから鉄球を静かに落としたときの動きは、 空気抵抗を無視するだけで、非常に簡潔に予測できる。 高さ \(h\) から落とせば、着地までの時間は \(t = \sqrt{2h/g}\) で求まる。 鉄球の色も表面の傷も関係ない。
この二つの例が示していることは何か。
紙の落下のように、すべてを考慮しようとすると、 現象は複雑すぎて「何が何に効いているのか」が見えなくなる。 鉄球の落下のように、本質的でないものを意図的に捨てると、 現象の骨格が現れる。
モデルは現実の写しではない。 しかし、現象を見抜くための、意図ある単純化である。
「意図ある」という点が重要である。 モデルは闇雲に簡単にするのではなく、 問いに対して必要なものだけを残す。 何を残し何を捨てるかは、問いによって変わる。
同じ野球のボールでも、 「打球がどこに落ちるか」を知りたければ質点（大きさのない点）として扱えばよい。 「なぜカーブが曲がるのか」を知りたければ、 ボールの回転と空気の相互作用を考える必要があり、質点モデルでは足りない。
モデルは「正しい」か「間違い」かで判断するものではない。 問いに対して有効か無効かで判断するものである。
小課題 5-1
次の三つの状況について、 (a) 予測するためにどのような情報が必要かを少なくとも五つ挙げよ。 (b) そのうち、最も重要なもの二つを選び、残りを無視してよい理由を一文で書け。
- 「橋の上からボールを落としたとき、川面に到達するまでの時間」
- 「教室の窓から見える木の影の長さが、昼の12時にどれくらいになるか」
- 「自転車を止めてから、完全に止まるまでの距離」
解答例 5-1
問1「ボールが川面に到達するまでの時間」
必要そうな情報：橋の高さ、ボールの質量、ボールの大きさと形、空気の密度、風の強さと向き、ボールの初速度（手から離れる瞬間）、重力加速度。
最も重要なもの：橋の高さと重力加速度。ボールが小さくて密度が高い（例えばゴルフボール）場合、数十メートル程度の落下では空気抵抗の影響は数パーセント以下であり、質量・形・風を無視しても到達時間の見積もりは大きく変わらない。
問2「木の影の長さが昼の12時にどれくらいになるか」
必要そうな情報：木の高さ、太陽の南中高度（緯度と日付で決まる）、地面の傾斜、木の形状（まっすぐか曲がっているか）、木の枝の広がり方、建物など周囲の遮蔽物、大気の屈折（空気の密度分布）。
最も重要なもの：木の高さと太陽の南中高度。影の長さは木の高さと太陽高度の幾何学的関係でほぼ決まり、木が概ねまっすぐであれば枝の広がりや地面のわずかな傾きは影の先端の位置を大きく変えない。
問3「自転車を止めてから、完全に止まるまでの距離」
まず「止めてから」の意味を確認する。「自転車を止める」が「完全に静止させる」という意味なら、すでに止まっているのだから距離はゼロである。ここでは「ブレーキをかけてから」と解釈して初めて、意味のある問いになる。問いの文言が曖昧であること自体に気づくのも、モデル化の第一歩である。
必要そうな情報：ブレーキをかけた瞬間の速度、タイヤと路面の間の摩擦係数、路面の材質と状態（乾燥か濡れているか）、自転車と乗り手の合計質量、ブレーキの効き具合（前輪か後輪か両方か）、路面の傾斜、風の影響、タイヤの種類と空気圧。
最も重要なもの：ブレーキ時の速度とタイヤと路面の摩擦係数。制動距離はおおよそ初速度の二乗に比例し、摩擦力で決まる。風や路面の微小な傾斜は、平坦な道路上の通常の制動では影響が小さい。
5.2 モデルは何を残し、何を捨てるか
モデルの核心は「残す」と「捨てる」の選択にある。 ここでは、物理で頻繁に使われる三つのモデルを取り上げ、 それぞれが何を残し何を捨てているかを整理する。
質点モデル
物体を大きさのない一つの点として扱うモデルである。
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 質量 | 大きさ・形 |
| 位置 | 向き（姿勢） |
| 速度 | 回転 |
| はたらく力 | 内部構造 |
なぜこの単純化が許されるのか。 物体の移動距離に比べて物体の大きさが十分に小さいとき、 形や向きは軌道にほとんど影響しない。 放り投げたボールの軌道を予測するには、質点モデルで十分である。
無摩擦斜面モデル
物体が摩擦のない滑らかな斜面上を動くと仮定するモデルである。
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 重力 | 摩擦力 |
| 斜面の角度 | 表面の粗さ |
| エネルギーの保存 | 熱の発生 |
| 空気抵抗 |
なぜ許されるのか。 斜面がよく磨かれた金属で、物体が滑らかな球であれば、 摩擦によるエネルギー損失はごくわずかである。 このとき、斜面を下った物体の速さは、 エネルギー保存則だけで精度よく予測できる。
理想ばねモデル
ばねの伸びが加える力に正確に比例する（\(F = kx\)）と仮定するモデルである。
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 伸びと力の比例関係 | 非線形性（大変形時のずれ） |
| 弾性的な復元力 | ばね自体の質量 |
| 内部の減衰（振動がだんだん小さくなること） | |
| 温度による特性変化 |
なぜ許されるのか。 変形が小さい範囲では、力と伸びの関係はきわめて正確に直線的である。 第4章で見た「弾性限界の範囲内で」という条件は、 このモデルが有効な範囲を表していた。
三つのモデルに共通する構造がある。 どれも、目的に対して不要な性質を捨て、 必要な性質だけを残している。 そして、捨てたものが小さい（効かない）範囲でのみ、 モデルは信頼できる。
モデルは「本物そっくり」である必要はない。 何を知りたいかに対して、必要な性質を残しているかが重要である。
ここで、第4章との接続を確認しておく。 第4章の小課題 4-3 で見つけた「隠れた条件」を思い出してほしい。 「ばねは引っ張るほど伸びる」の隠れた環境条件に 「弾性限界の範囲内か」があった。 この条件は、理想ばねモデルの前提そのものである。
つまり、主張に隠れていた条件の多くは、 その主張が依拠しているモデルの前提だったのである。
小課題 5-2
次の三つのモデルについて、「残すもの」と「捨てるもの」を それぞれ三つ以上挙げよ。さらに、捨てたものが「効かない」と言える条件を一文で書け。
- 等速直線運動モデル：物体がずっと同じ速さで一直線に進むと仮定する。
- 地球を球とみなすモデル：地球を完全な球体として扱う。
- 光の直進モデル：光がまっすぐ進むと仮定する。
解答例 5-2
問1「等速直線運動モデル」
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 速さ（一定値） | 加速度（速さの変化） |
| 運動の方向（一定） | 力による運動方向の変化 |
| 移動距離と時間の比例関係 | はたらく力（摩擦・空気抵抗・重力など） |
捨てたものが効かない条件：物体にはたらく力の合計がほぼゼロで、速さも方向もほとんど変化しない場合（例えば、氷の上を滑る物体の短時間の運動）。
問2「地球を球とみなすモデル」
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 地球の半径（平均値） | 赤道方向の膨らみ（扁平率） |
| 球対称な重力場 | 山や海溝などの地形の凹凸 |
| 表面積と体積の関係 | 地殻の密度の不均一性 |
捨てたものが効かない条件：地球全体のスケールでの概算（例えば地球の表面積や、ある地点から別の地点までの大まかな距離の見積もり）を行う場合。赤道半径と極半径の差は約 21 km であり、半径 6,400 km に対して 0.3% 程度であるため、多くの目的で無視できる。
問3「光の直進モデル」
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 光の進行方向 | 回折（障害物の縁で曲がること） |
| 反射の法則 | 干渉（波としての重ね合わせ） |
| 影の形成 | 色ごとの屈折角の違い（プリズムで虹が見える現象） |
捨てたものが効かない条件：光が通過する隙間や障害物が、光の波長（数百ナノメートル）に比べて十分大きい場合。
5.3 モデルで何が言えるか、何が言えないか
モデルが何を残し何を捨てたかが分かると、 そのモデルで「言えること」と「言えないこと」も見えてくる。
質点モデルを例に考える。
質点モデルで言えること：
- ボールを斜め上に投げたとき、どこに落ちるか（放物運動の軌道）。
- ある高さから物体を落としたとき、地面に届くまでの時間。
- 惑星が太陽のまわりをどのような軌道で回るか。
いずれも、物体の「位置」と「速度」と「はたらく力」で答えが出る問題であり、 物体の大きさや形は関係しない。
質点モデルで言えないこと：
- 投げたアメリカンフットボールが回転しながら安定して飛ぶ理由。→ 形と回転を考える必要がある。
- なぜブーメランは戻ってくるのか。→ 形状と空気力学が本質的である。
- 地球上に季節があるのはなぜか。→ 地球の「傾き」が必要であり、点では傾きを表現できない。
この整理は、第3章の「グラフから言えること／言えないこと」と同じ構造を持っている。 グラフの場合は「軸に含まれない情報」からは言えなかった。 モデルの場合は「捨てた性質」に関わる問いには答えられない。
モデルの有効範囲とは、「捨てたものが効かない」範囲である。 その範囲を超える問いに対しては、モデルを変えるか、要素を戻す必要がある。
小課題 5-3
次の各モデルについて、 (a) そのモデルで答えられる問いを一つ、 (b) そのモデルでは答えられない問いを一つ挙げよ。 (b)については、なぜ答えられないかを一文で説明すること。
- 無摩擦斜面モデル
- 理想ばねモデル（\(F = kx\)）
- 光の直進モデル
解答例 5-3
問1「無摩擦斜面モデル」
答えられる問い：斜面を滑り降りた物体は、底でどれくらいの速さになるか。→ エネルギー保存則から求められる。
答えられない問い：斜面に置いた物体が滑り出さない最大の角度は何度か。→ 物体が滑り出さないのは静止摩擦力のおかげであり、無摩擦モデルでは摩擦を捨てているため、「滑り出さない」状態を表現できない。
問2「理想ばねモデル」
答えられる問い：ばねに 2 N の力を加えたときの伸びが 4 cm ならば、4 N の力を加えたときの伸びはいくらか。→ 比例関係から 8 cm と予測できる。
答えられない問い：ばねにどれだけの力を加えると壊れるか。→ 理想ばねモデルでは、力と伸びが永久に比例することが前提であり、破壊や塑性変形を表現できない。
問3「光の直進モデル」
答えられる問い：障害物の後ろにできる影の形と大きさはどうなるか。→ 光源の位置と障害物の形から、幾何学的に影の輪郭を作図できる。
答えられない問い：CDやDVDの裏面が虹色に見える理由は何か。→ 虹色は光の回折と干渉によるものであり、光の直進モデルでは波としての性質を捨てているため、この現象を説明できない。
5.4 どこでモデルは破綻するのか
モデルには有効範囲がある。 その範囲を超えると、モデルの予測は現実と食い違い始める。 この食い違いを破綻と呼ぶ。
破綻を見つけることは失敗ではない。 むしろ、モデルの限界を知り、 より適切なモデルへ進むための出発点である。
破綻にはいくつかの典型的なサインがある。
サイン1：予測と実測の系統的なずれ
モデルの予測が実測より常に大きい（または常に小さい）場合、 それは偶然のばらつきではなく、モデルに欠けている要素があることを示唆する。
たとえば、質点モデルで野球ボールの軌道を予測すると、 放物線になる。 しかし、変化球（カーブやスライダー）の実際の軌道は、 放物線から系統的にずれる。 ボールの回転が空気から力を受けるためである。 このずれは「測定誤差」ではなく「モデルの限界」である。
サイン2：別の現象で矛盾が生じる
あるモデルが一つの現象ではうまくいくのに、 別の現象に適用すると矛盾する場合がある。
質点モデルは、惑星の軌道を予測するには十分である。 しかし、地球に季節がある理由を説明しようとすると、 地軸の傾きが必要になる。 点には「傾き」がないので、 同じ質点モデルでは季節を説明できない。
サイン3：無視した要素が大きく効く
モデルで捨てた要素が、ある状況では無視できないほど大きくなることがある。
空気抵抗を無視したモデルでは、 落下する物体は限りなく加速し続ける。 しかし、スカイダイバーは約 200 km/h で一定速度に達する（終端速度）。 これは、速度が大きくなると空気抵抗が重力と釣り合うためである。 速度が小さいうちは無視できた空気抵抗が、 速度が大きくなると主役に躍り出る。
サイン4：修正を重ねるとモデルが複雑になりすぎる
モデルの予測がずれるたびに補正を加えていくと、 モデルは次第に複雑になり、 「何を説明しているのか」が見えなくなることがある。
このような場合は、修正を重ねるよりも、 出発点から別のモデルを選ぶほうが生産的なことが多い。
四つのサインを表に整理する。
| サイン | 意味 | 例 |
|---|---|---|
| 系統的なずれ | 欠けている要素がある | 変化球の軌道が放物線からずれる |
| 別の現象で矛盾 | モデルの適用範囲外に出た | 質点モデルで季節を説明できない |
| 無視した要素が大きく効く | 捨てたものが主役になった | 高速落下で空気抵抗が効く |
| 修正だらけで複雑化 | 出発点を変えるべき | 補正を重ねて見通しが悪くなる |
モデルの破綻は、モデルが「間違いだった」ことを意味しない。 そのモデルが有効な範囲の境界を教えてくれる情報である。
ここで、似ているが異なる三つの概念を区別しておく。
- 前提（assumption）
- モデルが成り立つために必要な土台。「重力加速度は地表付近で一定とする」など。
- 近似（approximation）
- 小さな誤差を許容して計算を簡単にする操作。「\(\sin\theta \approx \theta\)（\(\theta\) が小さいとき）」など。
- 理想化（idealization）
- 現実に存在する要素をまるごと取り除く操作。「摩擦なし」「空気抵抗なし」など。
三つとも「単純化」だが、性質が異なる。 前提は「この世界はこういうものとする」という宣言であり、 近似は「このくらいの誤差なら許す」という取引であり、 理想化は「この要素はないことにする」という決断である。 破綻が起きたとき、どのレベルの単純化が壊れたのかを 見分けることが、次の手を考える出発点になる。
小課題 5-4
次の三つの場面について、 (a) どのモデルが使われているか、 (b) 破綻の四つのサインのうちどれに該当するか、 (c) 何が起きているかを一文で説明せよ。
- 振り子の周期を \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) で計算したところ、振れ幅が小さいときはよく合うが、振れ幅を 60° 以上にすると計算値より周期が長くなった。
- ローラースケートを履いて壁を押したら、壁ではなく自分が後ろに動いた。「力を加えた方向に物体は動く」という主張が当てはまらないように見える。
- 落下時間を \(t = \sqrt{2h/g}\) で計算した。高さ 2 m ではよく合ったが、スカイダイビングの高度（4,000 m）では計算値と実測値が大きく食い違った。
解答例 5-4
問1 (a) 振り子の周期の公式 \(T = 2\pi\sqrt{L/g}\) は、「\(\sin\theta \approx \theta\)」という近似を使ったモデルに基づいている。 (b) サイン1（系統的なずれ）。振れ幅が大きいとき、計算値より実測のほうが常に長い。 (c) 振れ幅が大きくなると \(\sin\theta \approx \theta\) の近似が成り立たなくなり、実際の復元力が近似値より小さくなるため、周期が長くなる。
問2 (a) 「力を加えた方向に物体は動く」という主張は、暗黙に「力を受けた物体だけが動き、力を加えた側は動かない」という一方向のモデルに基づいている。 (b) サイン2（別の現象で矛盾が生じる）。壁を押す場面では問題ないように見えるモデルが、ローラースケートの場面では矛盾する。 (c) ニュートンの第三法則（作用・反作用の法則）により、壁を押した力と同じ大きさの力が自分にも返ってくる。壁は地面に固定されているため動かないが、ローラースケートを履いた自分は摩擦が小さいため反作用で後ろに動く。「力を加えた方向に物体が動く」のではなく、力を受けた物体と力を加えた物体の両方に力がはたらいている。
問3 (a) \(t = \sqrt{2h/g}\) は、空気抵抗を無視し重力加速度を一定とした自由落下モデルに基づいている。 (b) サイン3（無視した要素が大きく効く）。高い高度からの落下では空気抵抗が支配的になる。 (c) 速度が増すにつれて空気抵抗が大きくなり、やがて重力と釣り合って終端速度に達する。高さ 2 m では速度が小さいため空気抵抗は無視できたが、4,000 m では速度が十分大きくなるため無視できなくなった。
5.5 モデルを使うか、使わないかを判断する
モデルの構造（何を残し何を捨てるか）と限界（どこで破綻するか）が 見えるようになると、次の段階に進める。 目の前の問いに対して、どのモデルを使うべきかを判断する段階である。
判断の手順を四つのステップにまとめる。
何を知りたいか。
問いを明確にする。同じ物体でも、問いが違えば適切なモデルが変わる。その問いに答えるために、何を残す必要があるか。
問いに関係する性質をモデルが含んでいるかを確認する。捨てたものが、結果を大きく変えないか。
捨てた要素が問いの状況で「効く」かどうかを見積もる。複雑にしすぎていないか。
必要以上の要素を入れると、計算は大変になるが理解は深まらない。 目的に対して最も単純なモデルを選ぶ。
具体例で練習する。
問い：「台車を斜面の上から離したとき、底に着いたときの速さはいくらか」
| ステップ | 判断 |
|---|---|
| 何を知りたいか | 底での速さ |
| 何を残す必要があるか | 重力、斜面の高さ、エネルギー |
| 捨てたもの（摩擦・空気抵抗）は効くか | 滑らかな斜面で距離が短ければ影響は小さい |
| 複雑にしすぎていないか | 無摩擦斜面モデルで十分 |
問い：「自動車がブレーキをかけてから止まるまでの距離はいくらか」
| ステップ | 判断 |
|---|---|
| 何を知りたいか | 制動距離 |
| 何を残す必要があるか | 初速度、摩擦力、質量 |
| 捨てたもの（摩擦）は効くか | 摩擦こそがブレーキの本質。捨てたら問いに答えられない |
| 複雑にしすぎていないか | 無摩擦モデルは使えない。摩擦を含むモデルが必要 |
二つの例を比べると、同じ「斜面上の運動」でも、 問いが変われば使えるモデルが変わることが分かる。 最初の問いでは摩擦を捨てても問題ないが、 二番目の問いでは摩擦がなければ話が始まらない。
モデルを使うとは、正しい世界を選ぶことではない。 問いに対して、必要十分な見方を選ぶことである。
小課題 5-5
次の三つの問いに対して、四つの判断ステップを使い、 (a) どのモデルが適切か、(b) なぜそのモデルを選んだか、を書け。 使えるモデルの候補は「質点モデル」「無摩擦斜面モデル」「理想ばねモデル」の いずれかとする。いずれも適切でない場合は、その理由を書くこと。
- 「ばねばかりに 3 N のおもりをぶら下げたときの伸びを予測したい。」
- 「コマ（独楽）が倒れずに回り続ける理由を説明したい。」
- 「ジェットコースターが最も高い地点から最も低い地点に下りたときの速さを見積もりたい。」
解答例 5-5
問1 (a) 理想ばねモデルが適切である。 (b) 知りたいのは力と伸びの関係であり、理想ばねモデルが残している「\(F = kx\) の比例関係」で答えが出る。3 N 程度の力であれば弾性限界内にあるのが通常であり、捨てている非線形性や減衰は効かない。
問2 (a) いずれのモデルも適切ではない。 (b) コマが倒れずに回り続ける理由は角運動量の保存とジャイロ効果にある。いずれも「回転」に関する現象である。質点モデルは回転を捨てており、無摩擦斜面モデルと理想ばねモデルも回転を扱わない。回転する剛体モデルが必要である。
問3 (a) 無摩擦斜面モデル（を一般化したエネルギー保存モデル）が適切である。 (b) 知りたいのは最低地点での速さであり、エネルギー保存則から高低差だけで見積もれる。レールの摩擦や空気抵抗は、大まかな見積もりでは無視しても大きな誤差にはならない。ただし、実際のジェットコースターでは摩擦があるため、計算値よりやや遅くなることが予想される。
5.6 まとめと小演習
この章で扱ったことを振り返る。
まず、モデルが必要な理由──すべてを考慮すると何も見えなくなる──を確認した（セクション 5.1）。 次に、三つの代表的なモデル（質点・無摩擦斜面・理想ばね）が何を残し何を捨てるかを整理し（セクション 5.2）、 モデルで言えること・言えないことの区別を学んだ（セクション 5.3）。 さらに、モデルの破綻を見つける四つのサインを導入し（セクション 5.4）、 問いに応じてモデルを選ぶ判断手順を練習した（セクション 5.5）。
以上をまとめると、次のことが言える。
- モデルが「意図ある単純化」であることを説明できる。
- あるモデルが何を残し何を捨てているかを言語化できる。
- モデルで言えること・言えないことを区別できる。
- モデルの破綻のサインを見つけ、その意味を説明できる。
- 問いに対して、適切なモデルを選ぶ判断ができる。
第4章で「主張の条件」を見つける力を身につけ、 この章でその条件がモデルの前提であることを学んだ。 第6章では、モデルが想定する条件を実験の中で 統制変数として固定する方法を扱う。 第4章の「条件」、第5章の「モデルの前提」、第6章の「統制変数」は、 異なる角度から同じものを見ている。
小演習
小演習 5-A
次の会話を読み、AとBの主張がそれぞれどのモデルに基づいているかを指摘し、 そのモデルの限界を一文ずつ書け。
A：「空気抵抗を無視すれば、羽毛も鉄球も同じ時間で地面に届く。だから重さは落下に関係ない。」
B：「でも現実では羽毛のほうがずっと遅いよ。だから重さは関係ある。」
A：「それは空気のせいであって、重さのせいじゃない。」
B：「空気がある場所で実験しているんだから、空気を無視したらだめだろう。」
解答例 5-A
Aの主張は、空気抵抗を無視した自由落下モデル（真空中の落下）に基づいている。このモデルでは質量は落下時間に影響しないという結論が出る。限界：空気抵抗が大きい状況（羽毛のように軽くて空気を受けやすい物体）では、このモデルの前提が崩れる。
Bの主張は、空気抵抗を含む現実の落下に基づいている。しかし、Bは「重さが関係ある」と結論づけているが、実際に効いているのは物体の形状と密度に対する空気抵抗の比率であり、「重さ」そのものが原因とは言い切れない。限界：空気抵抗を含めた議論をするならば、質量だけでなく形状や断面積も考慮しなければ正確な主張にならない。
この会話全体の問題：AとBが異なるモデル（前提）に立って議論しているため、議論がかみ合っていない。まず「どの条件で考えるか」を合意する必要がある。これは第4章で学んだ「条件を明示する」ことの重要性と直結している。
小演習 5-B
次の二つの説明は、同じ現象（振り子の運動）を異なるモデルで説明している。 それぞれのモデルが何を残し何を捨てているかを比較し、 どちらがどの問いに適しているかを判断せよ。
説明X：「振り子は一定の周期で振れ続ける。周期は糸の長さと重力加速度だけで決まり、おもりの質量には依存しない。」
説明Y：「振り子は時間とともに振れ幅が小さくなり、やがて止まる。空気抵抗と支点の摩擦によってエネルギーが失われるためである。」
解答例 5-B
説明Xは、摩擦と空気抵抗を捨てた理想振り子モデルに基づいている。残しているのは重力・糸の長さ・復元力である。
説明Yは、摩擦と空気抵抗を残した減衰振動モデルに基づいている。エネルギー損失を考慮しているため、振れ幅の変化を説明できる。
適切さの判断： 「振り子の周期を求めたい」→ 説明Xのモデルが適切。短時間であれば振れ幅の減少は無視できるため、周期の予測に集中できる。
「なぜ振り子はやがて止まるのかを説明したい」→ 説明Yのモデルが適切。止まる理由はエネルギー損失にあるため、摩擦や空気抵抗を捨てたモデルでは説明できない。
どちらが「正しい」かではなく、どちらが問いに合っているかで選ぶ。
章末課題：モデル診断カードを作る
以下の手順に従い、A4用紙1枚の「モデル診断カード」を作成せよ。
題材
次の四つのモデルから一つを選ぶ。
- 「一様な重力場モデル」（重力加速度 \(g\) が場所によらず一定）
- 「滑車の質量を無視するモデル」（滑車の重さやはたらく摩擦を無視する）
- 「理想気体モデル」（気体分子の大きさと分子間力を無視する）
- 「等速直線運動モデル」（速さが一定で方向も変わらない）
構成
選んだモデルについて、以下の六つの項目を記入する。
目的
このモデルは何を知りたいときに使うか。一文で書け。残すもの／捨てるもの
セクション 5.2 の表と同じ形式で、 残すものと捨てるものをそれぞれ三つ以上列挙せよ。説明できること
このモデルを使って答えられる問いを二つ挙げよ。説明しにくいこと
このモデルでは答えられない（または大きくずれる）問いを二つ挙げ、 なぜ答えられないかを一文ずつ書け。破綻が見える実例
このモデルの予測が現実から外れる具体的な場面を一つ挙げ、 セクション 5.4 の四つのサインのどれに該当するかを示せ。使用判断
このモデルを「使ってよい条件」と「使うべきでない条件」を一文ずつ書け。
評価の観点
解答例：章末課題（模範例）
選んだモデル：「一様な重力場モデル」
1. 目的
地球の表面付近で物体が落下・飛行する運動を、簡潔に予測したいときに使う。
2. 残すもの／捨てるもの
| 残すもの | 捨てるもの |
|---|---|
| 重力加速度 \(g\)（一定値 9.8 m/s\(^2\)） | 高度による \(g\) の変化 |
| 下向きの一定の力 | 地球の曲率（地面が平面でないこと） |
| 質量と重力の比例関係 | 地球の自転による見かけの力（コリオリ力） |
3. 説明できること
- ボールを真上に投げたとき、最高到達点の高さ。
- 斜め上に打ち出した物体がどこに着地するか（放物運動）。
4. 説明しにくいこと
- 人工衛星が地球の周りを回り続ける理由。→ 衛星の高度では地球の曲率が無視できず、重力の方向が場所によって変わるため、一様な重力場の仮定が成り立たない。
- 長距離ミサイルの軌道が東西で異なる理由。→ 地球の自転（コリオリ力）を無視しているため、地球の自転が軌道に与える影響を説明できない。
5. 破綻が見える実例
高度 400 km の国際宇宙ステーション（ISS）の軌道を、一様な重力場モデルで計算すると、直線的に落下する予測になる。しかし実際のISSは地球の周りを周回し続けている。これはサイン2（別の現象で矛盾が生じる）に該当する。地表付近の落下には有効なモデルが、軌道運動には適用できない。
6. 使用判断
使ってよい条件：物体の移動範囲が地球の半径（約 6,400 km）に比べて十分小さい場合（高さ数百メートル以下の運動）。
使うべきでない条件：物体が地球規模の距離を移動する場合、または高度によって重力加速度の変化が無視できない場合（ロケットの打ち上げ、衛星の軌道計算など）。
振り返り
この章を終えて、次の二つの問いに答えてほしい。
何が言えるようになったか。 ──モデルが「意図ある単純化」だと説明できること、 残す／捨てるを整理できること、 モデルの有効範囲を判断できること、 破綻のサインを見つけられること のうち、自分がもっとも使えるようになった力はどれか。一文で書け。
何がまだ危ういか。 ──上の四つのうち、自分がまだうまくできないと感じる力はどれか。 どの場面で難しいと感じたかを一文で書け。
モデルは、議論の「地図」のようなものである。 地図は現実の地面を完全に写し取ったものではないが、 目的地にたどり着くために必要な情報を整理して見せてくれる。 良い地図が「正しい」のではなく「役に立つ」のと同じように、 良いモデルも「正しい」のではなく「目的に対して有効」なのである。
第6章では、モデルが想定している条件を、 実験の中でどのように固定し管理するかを学ぶ。 「何を変え、何を固定するか」──それが実験計画の核心である。